高等数学期末总复习 DAY 3.利用导数定义求极限 判断连续与可导的关系 关于导数定义的证明题 基本求导 基本高阶求导 抽象函数求导

DAY 3.

一路陪我走过来的从来都不是什么善良正直正能量，而是虚荣嫉妒不甘心

1. 利用导数定义求极限

导数的两种定义

1. $f'{(x_0)}$f′(x0​) = $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$limx→x0​​x−x0​f(x)−f(x0​)​
2. $f'{(x_0)}$f′(x0​) = $\lim_{ \Delta x \to 0}$limΔx→0​ $\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{ \Delta x}$Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​

解题基本用到的是凑上面两种形式的思想。

例题1
求 A = $\lim_{ \Delta x \to 0}$limΔx→0​$\frac{f(x - \Delta x) - f(x)}{ \Delta x}$Δxf(x−Δx)−f(x)​ 的极限

这里和上面第二类导数的定义就相差一个正负号 $f(x + \Delta x)$f(x+Δx)所以很显然我们要凑第二类导数的定义

解：
A = $\lim_{ \Delta x \to 0}$limΔx→0​$\frac{f(x_0 - \Delta x) - f(x_0)}{ \Delta x}$Δxf(x0​−Δx)−f(x0​)​

= $\lim_{ \Delta x \to 0}$limΔx→0​$\frac{f(x_0 +(- \Delta x)) - f(x_0)}{ -\Delta x}$−Δxf(x0​+(−Δx))−f(x0​)​ *(-1)

= $f'(x_0)$f′(x0​) * (-1)

= - $f'(x_0)$f′(x0​)

例题2
如果$f(0) = 0$f(0)=0 ，且 $f'(0)$f′(0)存在，求A = $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$limx→0​xf(x)​

解：由题意得

A = $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 0}{x - 0}$limx→0​x−0f(x)−0​

=$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$limx→0​x−0f(x)−f(0)​

=$f'(0)$f′(0)

例题3
求A = $\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h}$limh→0​hf(x0​+h)−f(x0​−h)​

解：原式

=$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0) +f(x_0)- f(x_0 - h)}{h}$limh→0​hf(x0​+h)−f(x0​)+f(x0​)−f(x0​−h)​

=$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0) }{h}$limh→0​hf(x0​+h)−f(x0​)​ - $\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 - h) - f(x_0) }{h}$limh→0​hf(x0​−h)−f(x0​)​

=$f'(x_0)$f′(x0​) - $\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 - h) - f(x_0) }{h}$limh→0​hf(x0​−h)−f(x0​)​

=$f'(x_0)$f′(x0​) - (-$f'(x_0)$f′(x0​))

=2$f'(x_0)$f′(x0​)

2.判断连续与可导的关系

可导一定连续，连续不一定可导

一般有两种题型：

1. $f(x)=\left\{ \begin{aligned} ... & & (x != x_0) \\ ... & & (x = x_0) \\ \end{aligned} \right.$f(x)={......​​(x!=x0​)(x=x0​)​

例题4

讨论 $f(x)=\begin{cases} 0& \text{x=0}\\x^2sin\frac{1}{x}& \text{x!=0} \end{cases}$f(x)={0x2sinx1​​x=0x!=0​ 的连续性与可导性

解：依题意得该函数的断点为 x = 0

则：$\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x}$limx→0​x2sinx1​ = 0
(DAY 1.中的一个重要结论 无穷小量*有界函数 = 0)
由此可知该函数连续。
而：$f'(0)$f′(0) = $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$limx→0​x−0f(x)−f(0)​ = $\lim_{x \to 0} \frac{x^2\sin \frac{1}{x} - 0}{x - 0}$limx→0​x−0x2sinx1​−0​ = 0
所以该函数也可导

2. $f(x)=\left\{ \begin{aligned} ... & & (x \le x_0) \\ ... & & (x > x_0) \\ \end{aligned} \right.$f(x)={......​​(x≤x0​)(x>x0​)​

例题5

$f(x)=\begin{cases} x^2& \text{x <= 1}\\ax+b& \text{x>1} \end{cases}$f(x)={x2ax+b​x <= 1x>1​ 在 x = 1处可导，求a,b

解：首先函数可导则一定连续

可得, $\lim_{x \to 1} ax^2 + b = f(1) = 1$limx→1​ax2+b=f(1)=1 可推 $\Rightarrow$⇒ a + b = 1
然后，函数可导，则左右导数相等；
利用定义求导可得，
$f'(1^-) = \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$f′(1−)=limx→1−​x−1f(x)−f(1)​ = $\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$limx→1−​x−1x2−1​ = 2

$f'(1^+) = \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$f′(1+)=limx→1+​x−1f(x)−f(1)​

= $\lim_{x \to 1^+} \frac{ax +b - 1}{x - 1}$limx→1+​x−1ax+b−1​

=$\lim_{x \to 1^+} \frac{(1-b)x +b - 1}{x - 1}$limx→1+​x−1(1−b)x+b−1​

= $\lim_{x \to 1^+} \frac{(1-b)(x - 1)}{x - 1}$limx→1+​x−1(1−b)(x−1)​

= 1-b
所以： 1 - b = 2 $\Rightarrow$⇒ b = -1
由于：a + b = 1 $\Rightarrow$⇒ a = 2

3.关于导数定义的证明题

例题6
设 f (x) 满足条件：

1. $f(x + y) = f(x)f(y) ; x,y \in R$f(x+y)=f(x)f(y);x,y∈R
2. $f(x) = 1+xg(x), \lim_{x \to 0} g(x) = 1$f(x)=1+xg(x),limx→0​g(x)=1
   证明f（x）在 R 上处处可导，且$f'(x) = f(x)$f′(x)=f(x)

解：$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$f′(x)=limΔx→0​Δxf(x+Δx)−f(x)​

= $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x)f( \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$limΔx→0​Δxf(x)f(Δx)−f(x)​

=$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x)(f( \Delta x) - 1)}{\Delta x}$limΔx→0​Δxf(x)(f(Δx)−1)​

=$f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f( \Delta x) - 1}{\Delta x}$f(x)limΔx→0​Δxf(Δx)−1​

=$f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \frac{1 + \Delta x g(\Delta x)- 1}{\Delta x}$f(x)limΔx→0​Δx1+Δxg(Δx)−1​

=$f(x)\lim_{\Delta x \to 0} g(\Delta x)$f(x)limΔx→0​g(Δx)

= $f(x)$f(x)

证毕

4.基本复合函数求导

注意牢记基本公式

5. 基本高阶求导

和例题7安排在一起

注意求导的先后次序，以及中间是否可以化简等，不骜述。

6. 抽象函数求导

例题7 包含第五点基本高阶求导

求 $y = f(x^2)$y=f(x2) 的 $\frac{d_y}{d_x}, \frac{d^2{_y}}{d_x^2}$dx​dy​​,dx2​d2y​​

解：

$\frac{d_y}{d_x}$dx​dy​​ = $f'(x^2) * 2x$f′(x2)∗2x (先函数求导再中间量求导)

$\frac{d^2{_y}}{d_x^2}$dx2​d2y​​ = $(f'(x^2) * 2x)'$(f′(x2)∗2x)′ (乘积的求导) = $f''(x^2) *2x *2x + f'(x^2) *2$f′′(x2)∗2x∗2x+f′(x2)∗2 = $4x^2 f''(x^2) + 2f'(x^2)$4x2f′′(x2)+2f′(x2)