（ 动态规划专题 ）【 最长公共子序列(LCS) 】

（ 动态规划专题 ）【 最长公共子序列(LCS) 】

原文：https://blog.****.net/weixin_40673608/article/details/84262695

相关概念
子序列形式化定义：
给定一个序列X=<x1,x2,x3,x4...,xm>，另一个序列Z=<z1,z2,z3,z4...,zk>，若存在一个严格递增的X的下标序列<i1,i2,i3,...,ik>对所有的1,2,3,...,k，都满足x(ik)=zk，则称Z是X的子序列

比如Z=<B,C,D,B>是X=<A,B,C,B,D,A,B>的子序列

公共子序列定义：
如果Z既是X的子序列，又是Y的子序列，则称Z为X和Y的公共子序列

最长公共子序列（以下简称LCS）：
2个序列的子序列中长度最长的那个

方法
蛮力法求解最长公共子序列：
需要遍历出所有的可能，时间复杂度是O(n³)，太慢了

动态规划求解最长公共子序列：
分析规律：
设X=<x1,x2,x3,x4...,xm>，Y=<y1,y2,y3,y4...,yn>为两个序列，Z=<z1,z2,z3,z4...,zk>是他们的任意公共子序列

经过分析，我们可以知道：

1、如果xm = yn，则zk = xm = yn 且 Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个LCS

2、如果xm != yn 且 zk != xm，则Z是Xm-1和Y的一个LCS

3、如果xm != yn 且 zk != yn，则Z是X和Yn-1的一个LCS

所以如果用一个二维数组c表示字符串X和Y中对应的前i，前j个字符的LCS的长度话，可以得到以下公式：

文字意思就是：

设

p1表示X的前 i-1 个字符和Y的前 j 个字符的LCS的长度

p2表示X的前 i 个字符和Y的前 j-1 个字符的LCS的长度

p表示X的前 i-1 个字符和Y的前 j-1 个字符的LCS的长度

p0表示X的前 i 个字符和Y的前 j 个字符的LCS的长度

如果X的第 i 个字符和Y的第 j 个字符相等，则p0 = p + 1

如果X的第 i 个字符和Y的第 j 个字符不相等，则p0 = max(p1,p2)

做法：

因此，我们只需要从c[0][0]开始填表，填到c[m-1][n-1]，所得到的c[m-1][n-1]就是LCS的长度

但是，我们怎么得到LCS本身而非LCS的长度呢？

也是用一个二维数组b来表示：

在对应字符相等的时候，用↖标记

在p1 >= p2的时候，用↑标记

在p1 < p2的时候，用←标记

伪代码：

若想得到LCS，则再遍历一次b数组就好了，从最后一个位置开始往前遍历：

如果箭头是↖，则代表这个字符是LCS的一员，存下来后 i-- , j--

如果箭头是←，则代表这个字符不是LCS的一员，j--

如果箭头是↑ ，也代表这个字符不是LCS的一员，i--

如此直到i = 0或者j = 0时停止，最后存下来的字符就是所有的LCS字符

比如说求ABCBDAB和BDCABA的LCS:

灰色且带↖箭头的部分即为所有的LCS的字符