微积分笔记系列（一）

一、实数的相关性质：

二、数集的界：

确界存在定理：若非空数集有上/下界，则必有上/下确界；

三、数列极限：

1）定义：对于数列{$a_n$an​}，若存在一个常数A，对任意正数$\varepsilon$ε，总存在正整数N，使得当n>N时总有：$|a_n - A| < \epsilon$∣an​−A∣<ϵ，
则称数列{$a_n$an​}收敛于A，并将A称作数列{$a_n$an​}的极限，记作：$\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = A$limn→∞​an​=A
若数列{$a_n$an​}没有极限，则称{$a_n$an​}发散；
=> 上/下极限：任何数列，无论有界还是无界，都恒有子列的极限，即部分极限存在，其最大/小值称为上/下极限，分别记作：$\overline{\lim} a_n$liman​ 和 $\underline{\lim} a_n$lim​an​
=> 数列收敛的一个充分必要条件为上下极限相等；
=> 数列收敛的柯西准则：

2）基本性质：

3）四则运算：（$a_n,b_n$an​,bn​均收敛）
$\lim_{n\rightarrow \infty} (a_n+b_n) = \lim_{n\rightarrow \infty} a_n + \lim_{n\rightarrow \infty} b_n$limn→∞​(an​+bn​)=limn→∞​an​+limn→∞​bn​

$\lim_{n\rightarrow \infty} (a_n\times b_n) = \lim_{n\rightarrow \infty} a_n \times \lim_{n\rightarrow \infty} b_n$limn→∞​(an​×bn​)=limn→∞​an​×limn→∞​bn​

$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim_{n\rightarrow \infty} a_n }{ \lim_{n\rightarrow \infty} b_n}(\lim b_n \neq 0)$limn→∞​bn​an​​=limn→∞​bn​limn→∞​an​​(limbn​​=0)

4）夹逼定理：
若$a_n,b_n,c_n$an​,bn​,cn​满足：
①存在正整数N，当n>N时有$a_n \leq b_n \leq c_n$an​≤bn​≤cn​；
②$a_n,c_n$an​,cn​极限存在且相等；

则：$b_n$bn​极限存在且与$a_n,c_n$an​,cn​极限相等

5）单调数列极限存在定理：若单调递增/减数列有上/下界，则其极限必定存在；

6）闭区间套原理：

7）波尔查诺-魏尔斯特拉斯极限点原理：有界数列必有收敛于有限极限的子列

注：子列：从原数列选的任一部分数列 => 若原数列收敛，则任一子列必定收敛于同一极限；
反之，若存在两个子列不收敛于同一极限，则原数列发散（此条常用作证明原数列不收敛） => 每个无穷有界集合至少有一个极限点；

8）有限覆盖原理：设H是闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则必可以从H中选择有限个开区间来覆盖[a,b]

四、函数极限：

1）定义：设$f(x)$f(x)在$x_0$x0​的某去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意正数$\varepsilon$ε，总存在正数$\delta$δ，使得当$0<|x-x_0|<\delta$0<∣x−x0​∣<δ时总有：$0<|f(x)-A| < \varepsilon$0<∣f(x)−A∣<ε，
则称A为$f(x)$f(x)当$x\rightarrow x_0$x→x0​时的极限，记作：$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = A$limx→x0​​f(x)=A

=> 当A为无穷时，定义可改写为：
设$f(x)$f(x)在$x_0$x0​的某去心邻域内有定义，对于任意正数$\varepsilon$ε，总存在正数$\delta$δ，使得当$0<|x-x_0|<\delta$0<∣x−x0​∣<δ时总有：$f(x) > \varepsilon$f(x)>ε，则称$f(x)$f(x)当$x\rightarrow x_0$x→x0​时发散到正无穷，记作：$\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = +\infty$limx→x0​​f(x)=+∞，（负无穷的情况类似定义）

=> 左/右极限：x从左/右侧趋向于$x_0$x0​时函数的极限称为左/右极限，分别记作：$\lim_{x\rightarrow x_0^-} f(x)$limx→x0−​​f(x) 和 $\lim_{x\rightarrow x_0^+} f(x)$limx→x0+​​f(x)，统称单侧极限 ；
=> 函数收敛的一个充要条件是左右极限都存在且相等；
=> 函数收敛的柯西准则：

2）基本性质/四则运算/夹逼定理/单调极限存在定理等：类似于数列极限，不再赘述。。。

3）洛必达法则：
若函数$f(x)$f(x)和$g(x)$g(x)满足：
①$\lim_{x\rightarrow a} f(x) = \lim_{x\rightarrow a} g(x) = 0 或 \infty$limx→a​f(x)=limx→a​g(x)=0或∞；
②在点a的某去心邻域内两者都可导，且$g'(x) \neq 0$g′(x)​=0；
③$\lim_{x\rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = A$limx→a​g′(x)f′(x)​=A

则：$\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = A$limx→a​g(x)f(x)​=limx→a​g′(x)f′(x)​=A

4）斯托尔茨定理：
设整序变量$Y_n \rightarrow +\infty$Yn​→+∞，且从某一项$Y_{n+1}>Y_n$Yn+1​>Yn​，则$\lim\frac{X_n}{Y_n}=\lim\frac{X_n-X_{n-1}}{Y_n-Y_{n-1}}$limYn​Xn​​=limYn​−Yn−1​Xn​−Xn−1​​（若等式右边的极限存在）

5）海涅定理：
$\lim_{x\rightarrow a} f(x) = b$limx→a​f(x)=b 的一个充要条件为：
任取$f(x)$f(x)定义域内数列{$a_n$an​}，且满足$\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = a$limn→∞​an​=a，则：$lim_{n\rightarrow \infty} f(a_n) = b$limn→∞​f(an​)=b

海涅定理是沟通函数极限和数列极限的桥梁，常用来证明函数极限不存在
=> 若存在两个极限为a的数列$a_n,b_n$an​,bn​，不满足$\lim f(a_n)=\lim f(b_n) = b$limf(an​)=limf(bn​)=b，则函数极限不存在

6）两个重要极限：

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sinx}{x} = 1$limx→0​xsinx​=1

$\lim_{x\rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$limx→0​(1+x)x1​=e