《简明电路分析》——1.4节电阻与电阻器
本节书摘来自华章社区《简明电路分析》一书中的第1章，第1.4节电阻与电阻器，作者钟洪声 吴 涛 孙利佳，更多章节内容可以访问云栖社区“华章社区”公众号查看
1.4 电阻与电阻器
电阻（resistance）本身是一种对电流产生阻碍作用的电子元件，实际的电阻元件又称为电阻器（resistor）。本节将对实际的电阻器以及从电阻器中抽象出来的电阻模型进行介绍。
1.4.1 电阻器
电阻器是实际的电阻器件，其电阻值由自身决定，与外加电压、电流无关，反映了电荷通过电阻元件所受到的阻碍程度，即电荷在运动时与元件中分子碰撞的概率。碰撞阻碍了电流，将产生热能并吸收功率，导致电阻发热或发光，所以电阻器是消耗电能的元件。电阻器的电阻值可由以下公式计算R=ρLS（1-13）式中，ρ为电阻率，L为电阻器的长度，S为电阻器的截面积，R表示电阻器的电阻值，单位欧［姆］（Ω）。
电路中常见的电阻器都是二端元件，如图1-35所示。色环电阻器是在电阻封装（即电阻表面）上涂上一定颜色的色环，来代表这个电阻的阻值。有四色环、五色环及六色环等不同标记形式，每层色环的含义可在相关书籍中查阅，或通过万用表欧姆挡进行测量。而贴片电阻器体积小、重量轻，便于应用在表面组装的电路中。
根据电阻器的电阻值计算公式可以看出，实际电阻器的电阻值都为正，意味着电阻器全部属于耗能元件，只能吸收功率。
1.4.2 电阻与欧姆定律
如前所述，对电流产生阻碍作用的电子元件都是电阻。当电荷流过电阻时，一定需要电场力对电荷做功。对一个二端电阻而言，其端电压和端电流两个参数，一个为0时，图1-36 四种电阻特性曲线另一个必定为0，并且一个不为0时，另一个必不为0。可以从电阻器中抽象出电阻模型，即一个满足集总假设的二端元件，它的电压u与电流i之间满足函数关系，称为电阻或电阻元件，可以描述为u=f(i) 或 i=f(u)（1-14）该关系可以由u-i平面或i-u平面上的一条曲线来确定，这条曲线称为电阻的特性曲线。根据该曲线的性质，可以把电阻分为线性时不变、线性时变、非线性时不变和非线性时变四种情况，特性曲线如图1-36所示。
无论是哪一种情况，电阻的特性曲线均过坐标原点，即反映电阻中电荷定向运动形成电流的同时，两端一定存在电位差。
对于集总假设电路中的线性时不变电阻器，其VCR满足著名的欧姆定律：电阻上的端电流跟导体端电压成正比，跟电阻阻值成反比。所以在分析低频电路中的电阻器时，可以用线性时不变的电阻模型来替代实际电阻，分析结果接近实际情况。因而四种电阻模型中，本书仅讨论线性时不变的电阻模型，即图1-36a中的情况。线性时不变电阻模型如图1-37所示。
需要说明的是，实际工程中广义的电阻既指实际电阻器，也指电阻器上的电阻值，还可以指电阻模型，而本书后面提到的电阻，特指二端线性时不变电阻模型。
1.4.3 电阻的伏安关系
根据上一节的描述可知，电阻上的欧姆定律仅针对线性时不变的电阻而言，如果电阻两端的电压u和电流i为关联参考方向，如图1-38a所示，则电阻上的VCR可以用以下数学表达式描述
电阻的伏安关系u=Ri（1-15）若为非关联参考方向，如图1-38b所示，电阻VCR可以表述为u=-Ri（1-16）如果电阻是反映电荷通过物体所受到的阻碍程度，可以引入另一个变量电导（conductance）来描述物体允许电流通过的容易程度，电阻R与电导G之间为G=1R（1-17）电阻和电导是对导电情况的两种不同方面的描述，一个是阻碍一个是导通，因此电阻和电导的本质是一种元件，电导的符号与电阻相同，区别仅在物理含义和单位上。为了反映电阻和电导互为倒数的关系，电导的单位曾经用过姆欧（mho）和等，不过现在用的更多的是国际单位西［门子］（S）。
因此电阻上的欧姆定律写成电导的形式为i=Gu 或 i=-Gu（1-18）公式中的正负号取决于电压与电流是否为关联参考方向。
对于线性时不变的电阻或电导，当电压、电流为关联参考方向时，在u-i平面绘出的特性曲线如图1-39和图1-40所示。
电阻或电导在u-i平面上的特性曲线是同一根过原点的直线，该直线的斜率（即u取单位长度1时对应的i的长度）为电导G，该直线的斜率的倒数（即i取单位长度1时对应的u的长度）为电阻R。因此可以通过对u-i平面上的特性曲线求导的方式来计算电导或电阻值。
对于不同的电阻R或电导G的值
开路当电阻上的电压电流为关联参考方向时，根据电阻VCR，电阻吸收的功率p可写为p=ui=u2R=i2R（1-20）对于非关联参考方向，电阻吸收的功率p为p=-ui=u2R=i2R（1-21）再次强调，本书提到的电阻或电导是实际电阻器抽象出来的理想化数学模型，用于描述电压与电流具有线性关系的二端元件模型。它与实际电阻器既有区别又有联系，对于实际电阻器而言，其取值范围是（0，M），大于0指电阻器的电阻值为正，而M指一个有限大的数字以区别数学中的∞。一般而言，在低频率、低电压、低电流的电路中，可以直接用电阻模型来分析电路，分析结果十分接近实际情况。
对于高频电路中的实际电阻器，仅采用电阻模型得到的结果往往与实际情况差别很大，因为在高频电路中，实际电阻器的引线电感和封装电容效应不容忽视，对于实际电阻器而言，电阻值为正，所以实际电阻器只能吸收功率，并将吸收到的能量转换成热能、光能等其他形式而消耗掉。在电路中，经常用电阻RL来代替各种各样的负载，表示消耗能量的元件。关联参考方向下，实际电阻器的特性曲线只能位于u-i平面的一、三象限，阻值只能为正，即只能吸收功率。
而电阻模型的取值既可为正也可为负，关联参考方向下，取值为负的电阻模型的特性曲线位于u-i平面的二、四象限，可以产生并发出功率。
1.4.4 电位器
电位器（potentiometer）具有三个端子，其中两个固定接点、一个滑动接点，通过滑动可改变滑动端与两个固定端间的电阻值。使用时改变滑动点的位置，在输出端即获得与位移量成一定关系的电阻值或电压。电位器既可作三端元件使用，也可仅使用其中一个固定端和滑动端，或将滑动端与其中一个固定端保持连接，形成二端元件，后者又称为可变电阻器。
常见的电位器如图1-45所示。
电位器两个输出端到滑动端的电阻会随着滑动端的调节而发生变化，而调节滑动端时，电路并未进入稳定工作状态，此时一般不作定量分析，但一旦滑动端固定，电路进入稳定工作状态，电位器两端电阻可分别视为线性时不变的电阻，此时可对电路进行分析。
1.4.5 分压和分流公式
1.串联分压
把元件逐个顺次连接起来的连接方式称为串联，两个电阻的串联如图1-47所示。
图1-47所示的串联电路中，流过电阻R1和电阻R2的是同一个电流，即i=i1=i2。根据电阻的VCR可知，u1=R1i1，u2=R2i2，端口总电压u=u1+u2，所以u=u1+u2=R1i1+R2i2=(R1+R2)i对于两个电阻的串联电路有i=i1=i2=1R1+R2u
u1=R1i1=R1R1+R2u（1-22）
u2=R2i2=R2R1+R2u当两个电阻串联时，每一个电阻上的电流相等，电压与电阻值成正比例关系，将总电压按电阻值进行分配，这就是串联分压公式。
串联分压公式可以推广到n个电阻串联的电路，如图1-48所示。每个电阻上分得的电压为uk=RkR1+R2+…+Rnu=Rknk=1Rku（1-23）例1-7 电路如图1-49a所示，调节电位器的滑动端P可以改变滑动端的电位，电位器固定端A接+5V，固定端B接地（0电位参考点）。如果要得到UP=2V，则滑动端的位置应该在哪里？如果固定滑动端位置，并在P端接5kΩ电阻到地，如图1-49b所示，会不会改变UP的值？
解：电位器的PA和PB部分可视为两个电阻的串联，电阻值分别为RPA和RPB，RPA+RPB=10kΩ，分别对总电压5V进行分压。UP=RPBRPA+RPB×5=RPB10k×5如果要得到UP=2V，应调节滑动端使RPB=4kΩ，即滑动端P的位置距A端60%或距B端40%。
从结果可以看出，UP的值取决于RPB/10kΩ，该参数又称为分压比，对于任意阻值的电位器，只要分压比不变，都可以实现UP=2V。
在图1-49b所示的电路中，由于5kΩ电阻的存在，电位器的PA和PB不再满足串联关系，所以UP的值将发生变化，对于该电路而言UP将降低。
2.并联分流
把元件并列地连接起来的连接方式称为并联。两个电阻的并联如图1-50所示，图1-50 两个电阻的并联电阻R1和电阻R2上的电压相等，即u=u1=u2。根据电阻的VCR可知，u1=R1i1，u2=R2i2，端口总电流i=i1+i2，所以i=i1+i2=1R1u1+1R2u2=1R1+1R2u对于两个电阻的串联电路有u=u1=u2=R1R2R1+R2i
i1=1R1u1=1R11R1+1R2i=R2R1+R2i（1-24）
i2=1R2u2=1R21R1+1R2i=R1R1+R2i如果用电导G来表示电阻元件，上式还可以写为i1=G1u1=G1G1+G2i（1-25）
i2=G2u2=G2G1+G2i当两个电阻并联时，每一个电阻上的电压相等，电流与电阻值成反比例关系，或与电导成正比例关系。将总电流按电导值（或电阻的倒数）进行分配，这就是并联分流公式。
并联分流公式可以推广到n个电阻并联的电路，如图1-51所示。每个电阻上分得的电流为ik=Gknk=1Gki=1Rknk=11Rki（1-26）例1-8 电路如图1-52所示，已知总电流I=6A，电阻R1=1Ω，R2=2Ω和R3=3Ω，则流过三个电阻的电流I1、I2、I3分别为多少？
例1-8图解：电阻R1、R2、R3为并联关系，根据并联分流公式可得I1=1R11R1+1R2+1R3I=1111+12+13×6=3611=3.27A
I2=1R21R1+1R2+1R3I=1211+12+13×6=1811=1.64A
I3=1R31R1+1R2+1R3I=1311+12+13×6=1211=1.09A在并联分流公式中，分子为电导即电阻的倒数，分母为电导和（电阻倒数的和），计算时要注意“电阻倒数的和”和“电阻和的倒数”之间的区分。
1.4.6 非线性电阻简介
前面介绍的是线性电阻，其特点是电阻两端的VCR满足欧姆定律u=Ri呈线性关系，其特性曲线是u-i平面上过原点的一条直线。当电阻两端的VCR不呈线性关系时，特性曲线将不是直线，如图1-53所示，此时电阻的电阻值不是一个常数，而是随电压或电流发生变化，称为非线性电阻。
非线性电阻的特性曲线的特点是一定过坐标原点，原因和线性电阻一样，非线性电阻不满足欧姆定律，特性曲线是曲线而非直线。对于图1-53a所示的普通二极管的伏安特性，既可描述成u=f（i）也可描述成i=f（u），因为它是单调函数，所以这类非线性电阻既可认为是压控非线性电阻也可认为是流控非线性电阻；而图1-53b所示的荧光灯的特性曲线，其电压是电流的单值函数，只能用u=f（i）来描述，图1-54 非线性电阻
符号这类元件称为流控非线性电阻；图1-53c所示的隧道二极管的特性曲线，其电流是电压的单值函数，只能用i=f（u）来描述其伏安特性，这类元件称为压控非线性电阻。非线性电阻的符号如图1-54所示。对于简单的非线性电阻电路的分析，将在第7章进行讨论。名人故事 格奥尔格·西蒙·欧姆（Georg Simon Ohm，1789－1854），德国物理学家。欧姆发现了电阻中电流与电压的正比关系，即著名的欧姆定律；他还证明了导体的电阻与其长度成正比，与其横截面积和传导系数成反比；以及在稳定电流的情况下，电荷不仅在导体的表面上，而且在导体的整个截面上运动。电阻的国际单位制“欧姆”以他的名字命名。