[3014]曲线

曲线

Description

小Y同学的弟弟小Z昨天学习了数学中的一元二次函数，但是由于学业不精，他一个晚上都在缠着小Y问一元二次函数的极值问题，小Y烦不可耐，于是，想请你帮忙弄个程序来应付小Z。程序要完成以下任务：
给你N个二次函数，记第i个为：fi(x)=ai*x^2+bi*x+ci。(0≤ai≤100，|bi|≤5000，|ci|≤5000)
设函数F(x)=max{f1(x), f2(x) … fn(x)}。
请你求出F(x)的在区间[0, 1000]上的最小值，结果保留3位小数。

Input

第一行是一个整数N。
接下来N行，每行3个实数ai、bi、ci，之间有一个空格分隔。

Output

输出一行一个实数，表示F(x)的在区间[0, 1000]上的最小值。

Sample Input

Sample Output

#1
0.000

#2
0.686

Hint

70%的数据：1≤N≤1000；
100%的数据：1≤N≤100000。

今天早上考了这题，交错了文件夹，惨惨。

由于算法不精，很多算法要么不知道，要么不会用，所以当时的思路很混乱，想分情况讨论但是WA的很精彩。

所以下午就认真听课了QwQ 废话不多说，我们分析一下这道题

[3014]曲线

随便画几个抛物线，我们会发现，我们要求的最大值，总是呈现凸壳型（这话对不对有待考证……），也就是，有一个最低点，其余都向左或向右递增（并非抛物线）

这种问题可以用二分来求，但是比较麻烦，由此引入三分（这是一个链接）这一神奇的算法

这题是三分模板题，三分横坐标逼近答案（注意最后要输出的是横坐标对应的纵坐标）

这题还有一个棘手的问题，就是精度，在程序里要控制好。

下面贴代码

#include "stdio.h"
#include "iostream"
#include "algorithm"
using namespace std;
int n;
struct node
{
	double a,b,c;
}x[100005];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lf%lf%lf",&x[i].a,&x[i].b,&x[i].c);
	double l=0.0,r=1000.0;       //左边界和右边界
	double xl,xr,yl,yr;
	while(r-l>1e-10)           //控制精度
	{
		xl=(r-l)/3.0+l,xr=2.0*(r-l)/3.0+l;              //三分的中间值
		yl=yr=-1e100;                   //先赋最小值
		for(int i=1;i<=n;i++)          //计算此下标所对应函数值的最大值
		{
			yl=max(yl,x[i].a*xl*xl+x[i].b*xl+x[i].c);
			yr=max(yr,x[i].a*xr*xr+x[i].b*xr+x[i].c);
		}
		if(yl>yr)
			l=xl;           //调整左边界
		else r=xr;           //调整右边界
	}
	printf("%.3lf\n",yl);
	return 0;
}

QVER~

因为是模板题，也没什么多说的，这种算法很巧妙，看完也就会了。

祝我和学长99(✺ω✺)

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