主要内容

• 线性滤波器及其与AR模型的互逆关系
• 前后向线性预测；格型滤波器；Burg算法
• 信道均衡

一、线性预测

$\quad$如下图所示包含M个抽头的滤波器，用$u(n-1),u(n-2),\cdots,u(n-M)$u(n−1),u(n−2),⋯,u(n−M)来预测$u(n)$u(n)，称为M阶线性预测$LP(M)$LP(M)。

• 输入向量：$u(n)=[u(n-1),u(n-2),\cdots,u(n-M)]^T$u(n)=[u(n−1),u(n−2),⋯,u(n−M)]T
• 权向量：$w=[w_0,\cdots,w_{M-1}]^T$w=[w0​,⋯,wM−1​]T
• 自相关矩阵：$R=E\{u(n)u^H(n)\}$R=E{u(n)uH(n)}
• 互相关预测：$p=E\{u(n)d^*(n)\}=[r(-1),r(-2),\cdots,r(-M)]^T$p=E{u(n)d∗(n)}=[r(−1),r(−2),⋯,r(−M)]T
• M阶线性预测满足维纳-霍夫方程：$Rw_0=p$Rw0​=p
• 满足维纳-霍夫方程的线性预测称为最佳线性预测，简称线性预测
• $J_{min}=\sigma_d^2-p^Hw_0=r(0)-w_0r(1)-w_1r(1)-\cdots-w_{M-1}r(M)$Jmin​=σd2​−pHw0​=r(0)−w0​r(1)−w1​r(1)−⋯−wM−1​r(M)

线性预测器与AR模型的关系

$H_{AR}(z)=\frac{1}{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}+\cdots+a_Mz^{-M}}\\H_{LP}(z)=1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}+\cdots+a_Mz^{-M}\\H_{AR}(z)H_{LP}(z)=1$HAR​(z)=1+a1​z−1+a2​z−2+⋯+aM​z−M1​HLP​(z)=1+a1​z−1+a2​z−2+⋯+aM​z−MHAR​(z)HLP​(z)=1
$\quad$M阶LP与M阶AR互为逆袭统

二、前后向线性预测；格型滤波器；Burg算法

前向线性预测器FBLP结构图：

1、前向线性预测FLP

• 用$u(n-1),u(n-2),\cdots,u(n-M)$u(n−1),u(n−2),⋯,u(n−M)来预测$u(n)$u(n)
• FLP的维纳霍夫方程：$Rw_{fo}=p,w_{fo}$Rwfo​=p,wfo​是FLP最优权向量
  

2、后向线性预测BLP

• 用$u(n-M+1),u(n-M+2),\cdots,u(n)$u(n−M+1),u(n−M+2),⋯,u(n)来预测$u(n-M)$u(n−M)
• FLP的维纳霍夫方程：$R_bw_{bo}=p_b,w_{bo}$Rb​wbo​=pb​,wbo​是BLP最优权向量
  
• $R_b=R^*,p_b=p^*,w_{fo}=w_{bo}^*$Rb​=R∗,pb​=p∗,wfo​=wbo∗​，可见在最小均方误差下，FLP和BLP估计权向量时效果相同
• $\hat{w}_{o}=\frac{1}{2}(\hat{w}_{fo}+\hat{w}_{bo})$w^o​=21​(w^fo​+w^bo​)，统计意义下，估计$\hat{w}_{o}$w^o​比单独进行前向或者后向预测具有更小的估计误差

3、FBLP格型滤波器

$\quad$将随机过程$u(n)$u(n)输入到格型滤波器，则可分别得到不同阶数的FBLP的最小前向预测误差$e_m^f(n)$emf​(n)和最小后向预测误差$e_b^f(n)$ebf​(n)，满足下式的递推关系：

4、Burg算法

$\quad$利用Burg算法可以根据N个观测样本数据估计各阶FBLP的反射系数$k_m$km​
$\quad$Burg算法可以估计AR(M)模型的参数，进而得到AR(M)功率谱密度的估计。

三、信道均衡

$\quad$在数字通信系统中，接受信号通常会受到加性噪声；码间干扰、衰落等因素影响，要获得发射符号的可靠估计，通常需要在接收机中对接收信号进行均衡。

1、离散时间通信信道模型

$\widetilde{s}(t)=\sum_{l=-\infty}^\infty s(l)g(t-lT)\\\widetilde{u}(t)=\widetilde{s}(t)*c(t)+\widetilde{v}(t)=\sum_{l=-\infty}^\infty s(l)\widetilde{h}(t-lT)+\widetilde{v}(t)\\其中\widetilde{h}(t)=g(t)*c(t),对其采样，最终输入输出关系为\\u(n)=\sum_{l=0}^Lh_ls(n-l)+v(n)$s(t)=l=−∞∑∞​s(l)g(t−lT)u(t)=s(t)∗c(t)+v(t)=l=−∞∑∞​s(l)h(t−lT)+v(t)其中h(t)=g(t)∗c(t),对其采样，最终输入输出关系为u(n)=l=0∑L​hl​s(n−l)+v(n)
$\quad$对上式展开，可得到$u(n)=h_0s(n)+\sum_{l=1}^Lh_ls(n-l)+v(n)$u(n)=h0​s(n)+∑l=1L​hl​s(n−l)+v(n)，式子第一项表示第n个采样时刻携带信息的符号，第二项表示引入码间干扰，等价模型如下图：

2、迫零滤波器

a.理想的逆滤波器

$\quad$要消除码间干扰，则级联的单位冲激响应$f(n)$f(n)应满足$f(n)=w(n)*h(n)=\sum_{k=-\infty}^\infty w_k^*h_{n-k}=\delta(n)\\F(z)=W(z)H(z)=1\\均衡器W(z)=\frac{1}{H(z)}$f(n)=w(n)∗h(n)=k=−∞∑∞​wk∗​hn−k​=δ(n)F(z)=W(z)H(z)=1均衡器W(z)=H(z)1​
因此，要完全消除码间干扰，均衡器$W(z)$W(z)应该是$H(z)$H(z)的理想逆滤波器 。称满足该条件的均衡器是迫零滤波器。

b.FIR迫零均衡器

$\quad$$\hat{w}是FIR滤波器的权向量\hat{w}=[\hat{w}_{-M},\hat{w}_{-M+1},\cdots,\hat{w}_{M}]$w^是FIR滤波器的权向量w^=[w^−M​,w^−M+1​,⋯,w^M​]，经过推导，可以得到，迫零滤波器要求权向量$\hat{w}$w^满足$f_d=C\hat{w}^*\\f_d=[0,\cdots,0,1,0,\cdots,0]^T只有第M+1项不为0\\C是信道冲激响应矩阵$fd​=Cw^∗fd​=[0,⋯,0,1,0,⋯,0]T只有第M+1项不为0C是信道冲激响应矩阵
$\quad$若预先得到矩阵C，则由上式可以解出均衡滤波器权向量$\hat{w}$w^。

3、基于于MMSE准则的FIR均衡滤波器

$\quad$均衡器输入向量$u(n)=Hs(n)+v(n)$u(n)=Hs(n)+v(n)，其中$H$H是信道矩阵

• 利用最小均方误差准则，MMSE均衡器是维纳-霍夫方差的解：$\hat{w}_o=R^{-1}p$w^o​=R−1p
• $R=E\{u(n)u^H(n)\}=E\{(Hs(n)+v(n))(Hs(n)+v(n))^H\}=HE\{s(n)s^H(n)\}H^H+E\{v(n)v^H(n)\}=\sigma_s^2HH^H+\sigma_v^2I$R=E{u(n)uH(n)}=E{(Hs(n)+v(n))(Hs(n)+v(n))H}=HE{s(n)sH(n)}HH+E{v(n)vH(n)}=σs2​HHH+σv2​I
• $p=E\{u(n)s^*(n)\}=\sigma_s^2[H]_{M+1}=\sigma_s^2[h_M,h_{M+1},\cdots,h_0,0]^T$p=E{u(n)s∗(n)}=σs2​[H]M+1​=σs2​[hM​,hM+1​,⋯,h0​,0]T
• 计算出$\hat{w}_o$w^o​后，得到最小均方误差为$J_{min}=\sigma_s^2-\hat{w}_o^Hp$Jmin​=σs2​−w^oH​p
• 可以看出，如果已知信道系数$\{h_l\}_{l=0}^L${hl​}l=0L​，则可直接计算出均衡滤波器的权向量