【NOIP 2015】Day2 T3 运输计划

题面

题目背景

公元 \(2044\) 年,人类进入了宇宙纪元。

题目描述

公元\(2044\) 年，人类进入了宇宙纪元。

$L $国有 \(n\) 个星球，还有 \(n-1\) 条双向航道，每条航道建立在两个星球之间，这 \(n-1\) 条航道连通了 \(L\) 国的所有星球。

小 \(P\) 掌管一家物流公司， 该公司有很多个运输计划，每个运输计划形如：有一艘物流飞船需要从 \(u_i\) 号星球沿最快的宇航路径飞行到 \(v_i\) 号星球去。显然，飞船驶过一条航道是需要时间的，对于航道 \(j\)，任意飞船驶过它所花费的时间为 \(t_j\)，并且任意两艘飞船之间不会产生任何干扰。

为了鼓励科技创新， \(L\) 国国王同意小 \(P\) 的物流公司参与 \(L\) 国的航道建设，即允许小\(P\) 把某一条航道改造成虫洞，飞船驶过虫洞不消耗时间。

在虫洞的建设完成前小 \(P\) 的物流公司就预接了 \(m\) 个运输计划。在虫洞建设完成后，这 \(m\) 个运输计划会同时开始，所有飞船一起出发。当这 \(m\) 个运输计划都完成时，小 \(P\) 的物流公司的阶段性工作就完成了。

如果小 \(P\) 可以自由选择将哪一条航道改造成虫洞， 试求出小 \(P\) 的物流公司完成阶段性工作所需要的最短时间是多少？

输入输出格式

输入格式：

第一行包括两个正整数 \(n, m\)，表示 \(L\) 国中星球的数量及小 \(P\) 公司预接的运输计划的数量，星球从 \(1\) 到 \(n\) 编号。

接下来 \(n-1\) 行描述航道的建设情况，其中第 \(i\) 行包含三个整数 \(a_i, b_i\) 和 \(t_i\)，表示第 \(i\) 条双向航道修建在 \(a_i\) 与 \(b_i\)两个星球之间，任意飞船驶过它所花费的时间为 \(t_i\)。数据保证 \(1 \leq a_i,b_i \leq n\) 且 \(0 \leq t_i \leq 1000\)。

接下来 \(m\) 行描述运输计划的情况，其中第 \(j\) 行包含两个正整数 \(u_j\) 和 \(v_j\)，表示第 \(j\) 个运输计划是从 \(u_j\) 号星球飞往 \(v_j\)号星球。数据保证 \(1 \leq u_i,v_i \leq n\)

输出格式：

一个整数，表示小 \(P\) 的物流公司完成阶段性工作所需要的最短时间。

输入输出样例

输入样例#1：

6 3 
1 2 3 
1 6 4 
3 1 7 
4 3 6 
3 5 5 
3 6 
2 5 
4 5

输出样例#1：

11

说明

所有测试数据的范围和特点如下表所示

请注意常数因子带来的程序效率上的影响。

考点

二分答案，树上乱搞

思路

首先看到题目所求，是求最大值最小化。一下子就发现答案是单调的，那么二分答案就确定了。那么二分之后如何\(check\)呢？

• 可以发现，当我们二分到一个值\(mid\)时，对于所有小于等于它的路径都无需处理。
• 对于所有大于\(mid\)的路径，我们所修改的边必定是这些路径所共同覆盖的，否则对于某条未覆盖此边的路径它的值不会改变，仍旧大于等于\(mid\)
• 在此基础上，修改所有路径共同覆盖的边中权值最大的一定最优。

那么一步步来。

• 首先是二分，这个肯定没有问题。
• 那么对于所有大于 mid 的路径，路径从大到小排序确定前缀大于\(mid\)的最靠后位置即可。路径长度可通过记录树上前缀和做到--不难想到，两个端点的树上前缀和之和减去两倍 \(lca\) 的树上前缀和。
• 如何寻找被共同覆盖的边？
  • 首先引入概念--树上前缀和与子树和。树上前缀和即是记录当前节点 \(i\) 到根结点的距离，子树和则是以 \(i\) 为根结点的子树内所有节点的权值和。
  • 考虑利用子树和进行树上差分。我们将路径的左右端点的用于差分的数组 \(+1\) ，然后如果此时我们统计整棵树所有结点的数组的子树和，我们会神奇地发现，从左端点以及右端点到 \(lca\) 的路径上所有结点的子树和都为 \(1\) ，从 \(lca\) 到根结点的路径上所有结点的子树和都为 \(2\) ！那么不难发现，如果我们在 \(lca\) 的上再 \(-1\) ，在 \(lca\) 的父结点上也 \(-1\)，再计算一次子树和，就会发现此时这条路径上所有结点的数组子树和都为 \(1\) ！也就是说，正好整条路径上的结点都 \(+1\) 了！
  • 只需要稍加修改，一个结点的子树和表示的是它到父结点的边的子树和，接着对于 \(lca\) 我们改为在 \(lca\) 处 \(-2\) 并不对父结点处理即可！
  • 所以差分真是个妙东西(小声bb)。
• 当对于所有的路径做完差分之后再统一做子树和后，对于每个子树和为大于 \(mid\) 路径总数的点，它到父结点的边一定被这些路径同时经过，对于这些路径，我们取 \(max\) 即可。
• 至于最长的路径，直接拿最长的路径减去 \(max\) 并判断是否小于等于 \(mid\) 即可。

然后这道题就轻松 A 掉了！

代码

// luogu-judger-enable-o2 开O2是因为有个点极度卡人，目前我已知的人里只有用树剖求LCA的过掉了......
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,ans；
int head[300001],f[300001][20];//head数组用于链式前向星,f数组为倍增数组
int change[300001],jl[300001],num[300001];//change数组为差分数组，jl(就是距离的首字母^_^)数组为树上前缀和，num数组为子树和
struct tree
{
    int fa,deep;
}k[300001];//记录树上结点信息
struct node
{
    int u,v,lenth,lca;
}s[300001];//路径信息
struct egde
{
    int next,to,w;
}g[600001];//边信息
int cmp(node x,node y)
{
    return x.lenth>y.lenth;
}
void read(int &x)
{
    x=0;
    char number=getchar();
    while(!isdigit(number))
        number=getchar();
    while(isdigit(number))
    {
        x=x*10+number-'0';
        number=getchar();
    }
}//快读
void build(int x)
{
    book[x]=1;
    for(int p=head[x];p;p=g[p].next)
        if(g[p].to!=k[x].fa)
        {
            k[g[p].to].deep=k[x].deep+1;
            k[g[p].to].fa=x;
            jl[g[p].to]=jl[x]+g[p].w;
            build(g[p].to);
        }
}//建树，造出深度，父亲结点，树上前缀和的信息
int dfs(int x)
{
    book[x]=1;
    num[x]+=change[x];
    int p=head[x];
    while(p)
    {
        if(g[p].to!=k[x].fa)
            num[x]+=dfs(g[p].to);
        p=g[p].next;
    }
    return num[x];
}//统计子树和
bool pd(int mid)
{
    int top=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        num[i]=0;
        change[i]=0;
        book[i]=0;
    }
    while(s[top].lenth>mid&&top<=m)
        top++;//加入需要处理的路径
    top--;
    for(int i=1;i<=top;i++)
    {
        change[s[i].u]++;
        change[s[i].v]++;
        change[s[i].lca]-=2;
    }//差分数组加减
    dfs(1);
    int maxx=0;
    for(int  i=1;i<=n;i++)
        if(num[i]==top)
            maxx=max(maxx,jl[i]-jl[k[i].fa]);//取最大值
    if(s[1].lenth-maxx<=mid)
        return true;
    return false;
}//判断mid是否可行
int LCA(int a,int b)
{
    if(k[a].deep>k[b].deep)
    {
        for(int j=19;j>=0;j--)
            if(k[f[a][j]].deep>=k[b].deep)
                a=f[a][j];
    }
    else
        for(int j=19;j>=0;j--)
            if(k[f[b][j]].deep>=k[a].deep)
                b=f[b][j];
    for(int j=19;j>=0;j--)
        if(f[a][j]!=f[b][j])
        {
            a=f[a][j];
            b=f[b][j];
        }
    if(a==b)
        return a;
    return k[a].fa;
}//倍增求lca
int main()
{
    read(n);
    read(m);
    int u,v,w;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        read(u);
        read(v);
        read(w);
        g[i].to=v;
        g[i].next=head[u];
        head[u]=i;
        g[i+n].to=u;
        g[i+n].next=head[v];
        head[v]=i+n;
        g[i].w=g[i+n].w=w;
    }//存边
    k[1].deep=1;
    build(1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        f[i][0]=k[i].fa;
    for(int j=1;j<=19;j++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];//倍增数组处理
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        read(s[i].u);
        read(s[i].v);
        s[i].lca=LCA(s[i].u,s[i].v);
        s[i].lenth=jl[s[i].u]+jl[s[i].v]-jl[s[i].lca]*2;
    }//处理路径相关信息
    sort(s+1,s+m+1,cmp);
    int l=1,r=s[1].lenth;
    ans=r;
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)/2;
        if(pd(mid))
        {
            ans=min(ans,mid);
            r=mid-1;
        }
        else
            l=mid+1;
    }//二分答案
    cout<<ans;
}