高等数学18讲（19版）第七讲习题分析

1.

答案：D

令F(x)=g(x)-f(x),F(x)>=0

本题会误选B，因为c与1/2的大小无法判断，所以B不能选；而c<1是肯定的

2.

 选A;

（1）利用换元法，将f(x)'的表达式求出来；

（2）再将表达式代入积分式之中求即可；

4.

答案：

本题关键是利用换元法，将根号x令成t,将根号去掉，主要前面的系数2，不能丢掉

5.

答案：

本题的关键是要将lnx^2求两次导，才能得到f(x)'，积分出来lnx的绝对值可以不写，都是一样的；而且lnx的定义域，x>0

对数函数求导，可以视绝对值而不见

6.

答案：π/3

将原先表达式中的积分符号令为常数A，再将其进行积分，又等于A,故可以形成一个等式

7.

答案：

 同样是使用换元法，将根号式子令为t,再次进行求解

8.

答案：

还是利用换元法：令下面复杂的根式为t,来进行求解

9.

答案：

本题的关键时对 sinx使用2倍角公式，以及对cosx+1使用半角公式

10.

答案：

本题的关键在于要把sinx化成与cosx/2同角度的表达式；

而且当被积函数为幂函数和三角函数时，且不能使用凑微分时，一定要使用分部积分法来做

11.

答案：

分析：不能只令根号里面为t,要将整个复杂的部分令为t；再将x反解出来

12.

答案：

当凑微分法无法使用时，使用分部积分法来做；满足一个原则：反对幂指三；左边在积分号里面，右边在微分号里面；

本题是将分母放到微分号中

13.

答案：

本题的答案要分情况讨论，随着a,b是否为0而变化；

 14.

见到分母的形式，一个整数加分数的形式，即要进行放缩；

遇到分母为1/(n+1)的式子，提出n/(n+1)即可；再利用夹逼准则来进行求解；

答案 ：

15.

答案：

简单的定积分求导形式，先提出1/n当作dx,凑出i/n的形式当x；

16.

答案：

本题的关键在于令1-x=sint，这一步比较难想到；由1-x^2这种形式想到三角代换

17.

 

 答案：

注意本题还是一样，不能使用凑微分法，就是使用分部积分法来做，在函数中有加减符号，先将函数拆开来，逐步积分；

可能有的会出现循环积分，抵消这样的操作；

18.

答案：

想到了本题要做区间变化->[Π/2,-Π/2]，但不能随意的改变区间，要通过换元的方式来进行；令x=u+Π/2;

再由对称区间想到偶倍奇零来进行简化计算；

19.

答案：

本题只要计算[0,1]区间即可，之后使用分部积分法即可；

20.

21.

答案：

本题将区间拆开来进行计算，但涉及到1/1+sinx处理的方法还是没有掌握，分子，分母同乘1-sinx即可；

再对数函数中出现负次，并且还有1时，将1化到对数中，去掉负数；

如：