Capacity of the Gaussian Two-Way Relay Channel to Within 1/2 Bit
System model
如上图所示，本文考虑 Gaussian TWRN.
[Signal Flow]
假设 Node
i
=
{
1
,
2
}
i=\{1,2\}
i={1,2} 的 rate 是
R
i
R_i
Ri (bits/channel use), 那么使用了
n
n
n 次信道之后，他总共可以传
n
R
i
nR_i
nRi 个 bits. 那他的codebook的大小就可以为
2
n
R
i
2^{nR_i}
2nRi. 我们把 Node
i
i
i 使用
n
n
n 次信道想传输的 message 记作
W
i
∈
{
1
,
2
,
3
,
.
.
.
,
2
n
R
i
}
W_i \in \left\{1,2,3,..., 2^{nR_i}\right\}
Wi∈{1,2,3,...,2nRi}
且我们假设两个人的信息 W 1 W_1 W1 和 W 2 W_2 W2 是独立同均匀分布的
在每次使用信道时，node i 实际传输的信息记作
X
i
=
[
X
i
(
1
)
,
X
i
(
2
)
,
.
.
.
,
X
i
(
n
)
]
⊤
\bm{X_i}=\left[X^{(1)}_i,X^{(2)}_i,...,X^{(n)}_i\right]^\top
Xi=[Xi(1),Xi(2),...,Xi(n)]⊤
每个node
i
i
i 的信号在 relay 处叠加后，我们有
Y
R
=
[
Y
R
(
1
)
,
Y
R
(
2
)
,
.
.
.
,
Y
R
(
n
)
]
⊤
\bm{Y_R}=\left[Y^{(1)}_R,Y^{(2)}_R,...,Y^{(n)}_R\right]^\top
YR=[YR(1),YR(2),...,YR(n)]⊤
Relay 从接收到的
Y
R
Y_R
YR 中解出信息
X
R
X_R
XR 并把它广播出去
X
R
=
[
X
R
(
1
)
,
X
R
(
2
)
,
.
.
.
,
X
R
(
n
)
]
⊤
\bm{X_R}=\left[X^{(1)}_R,X^{(2)}_R,...,X^{(n)}_R\right]^\top
XR=[XR(1),XR(2),...,XR(n)]⊤
下行，
X
R
\bm{X_R}
XR 经过信道后，在各个node
i
i
i 接收的信号我们记作
Y
i
=
[
Y
i
(
1
)
,
Y
i
(
2
)
,
.
.
.
,
Y
i
(
n
)
]
⊤
\bm{Y_i}=\left[Y^{(1)}_i,Y^{(2)}_i,...,Y^{(n)}_i\right]^\top
Yi=[Yi(1),Yi(2),...,Yi(n)]⊤
经过 n 次传输，最终两个节点要把对方的信息恢复出来。记恢复的信息为
W
^
i
∈
{
1
,
2
,
3
,
.
.
.
,
2
n
R
i
}
\hat{W}_i \in \left\{1,2,3,..., 2^{nR_i}\right\}
W^i∈{1,2,3,...,2nRi}
[Channels]
上行信道是同时传输
- Y R ( t ) = X 1 ( t ) + X 2 ( t ) + Z R ( t ) Y^{(t)}_R=X^{(t)}_1+X^{(t)}_2+Z^{(t)}_R YR(t)=X1(t)+X2(t)+ZR(t), 其中 Z R ( t ) ∼ C N ( 0 , σ R 2 ) Z^{(t)}_R\sim\mathcal{CN}(0,\sigma^2_R) ZR(t)∼CN(0,σR2).
- X i ( t ) = f i ( t ) ( W i , Y i ( t − 1 ) ) X^{(t)}_i=f^{(t)}_i(W_i,\bm{Y}^{(t-1)}_i) Xi(t)=fi(t)(Wi,Yi(t−1)) 即每一时刻传输的信号 X i ( t ) X^{(t)}_i Xi(t) 不仅是整个待传信息 W i W_i Wi 的函数, 而且还是之前所有下行接收信号的函数 ( Y i ( t − 1 ) \bm{Y}^{(t-1)}_i Yi(t−1) 是vector)。
- 上行每个人都有功率限制 P i P_i Pi: 1 n ∑ t = 1 n ( X i ( t ) ) 2 ≤ P i \frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n}\left(X^{(t)}_i \right)^2\leq P_i n1∑t=1n(Xi(t))2≤Pi.
下行信道是简单的广播信道
- Y i ( t ) = X R ( t ) + Z i ( t ) Y^{(t)}_i=X^{(t)}_R+Z^{(t)}_i Yi(t)=XR(t)+Zi(t), 其中 Z i ( t ) ∼ C N ( 0 , σ i 2 ) Z^{(t)}_i\sim\mathcal{CN}(0,\sigma^2_i) Zi(t)∼CN(0,σi2).
- X R ( t ) = f R ( t ) ( Y R ( t − 1 ) ) X^{(t)}_R=f^{(t)}_R\left(\bm{Y}^{(t-1)}_R\right) XR(t)=fR(t)(YR(t−1)), 即relay 没有自己想传输的信息, X R ( t ) X^{(t)}_R XR(t) 由它过去收到的所有信息决定。
- Relay的功率限制: 1 n ∑ t = 1 n ( X R ( t ) ) 2 ≤ P R \frac{1}{n}\sum_{t=1}^{n}\left(X^{(t)}_R \right)^2\leq P_R n1∑t=1n(XR(t))2≤PR.
[Decoding]
每个node用自己接收到的信息和自己的side information来解对方发送的信息，即
W
^
2
=
g
1
(
W
1
,
Y
1
)
\hat{W}_2=g_1(W_1,\bm{Y}_1)
W^2=g1(W1,Y1)
W ^ 1 = g 2 ( W 2 , Y 2 ) \hat{W}_1=g_2(W_2,\bm{Y}_2) W^1=g2(W2,Y2)
Average probability of error:
P
e
=
Pr
{
W
^
1
≠
W
1
or
W
^
2
≠
W
2
}
P_e=\text{Pr}\{\hat{W}_1\neq {W}_1~\text{or}~\hat{W}_2\neq {W}_2\}
Pe=Pr{W^1=W1 or W^2=W2}
A rate pair ( R 1 , R 2 ) (R_1,R_2) (R1,R2) is achievable if 存在一组编码解码函数 f f f and g g g 使得 n → ∞ n\to\infty n→∞ 时 P e → 0 P_e\to 0 Pe→0.
Capacity region 是所有可达的 rate pair 的闭集。