通信系统中的同步（二）——BPSK通信中的Costas环及其改进结构

1 概述，从Wiki抄的（google costas loop第一条就是）

Costas环（Costas Loop）用在抑制载波调制信号（比如双边带抑制载波调制）和相位调制信号（BPSK、QPSK）的相干解调中的载波恢复（carrier frequency recovery）上。由通用电气公司的John P. Costas 在1950s发明。它的发明被描述为对现代数字通信产生了深远的影响。Costas环的主要应用是在无线通信接收机中。与基于PLL的检波器相比，它的优势在于，在相位差比较小的情况下，Costas环输出的误差电压为$\sin(2(\theta_i-\theta_f))$sin(2(θi​−θf​))，而基于PLL的检波器输出的误差电压为$\sin(\theta_i-\theta_f)$sin(θi​−θf​)，这不仅使灵敏度提高了一倍，而且使Costas环路特别适合跟踪载波的多普勒频移，特别是在OFDM和GPS接收机中。

2 BPSK接收机中的Costas环

结构如图所示：

• LPF：低通滤波器
• LF：环路滤波器
• VCO：压控振荡器（数字芯片中，比如FPGA中，用DDS）

3 环路滤波器参数设定

环路滤波器结构如下图：

做过接收机的都知道，这里面就是环路滤波器的参数$k_1$k1​、$k_2$k2​不好确定。下面介绍一种简单的不精确的参数确定方法。

所有的参考书上都下列计算参数的公式：

$K_{1}=\frac{-4 \zeta \theta}{\left(1+2 \zeta \theta+\theta^{2}\right) K_{p}}$K1​=(1+2ζθ+θ2)Kp​−4ζθ​ $K_{2}=\frac{-4 \theta^{2}}{\left(1+2 \zeta \theta+\theta^{2}\right) K_{p}}$K2​=(1+2ζθ+θ2)Kp​−4θ2​

$\theta$θ 由下式计算:

$\theta=\frac{\frac{B_{n} T_{\mathrm{S}}}{N}}{\zeta+\frac{1}{4 \zeta}}$θ=ζ+4ζ1​NBn​TS​​​

在上面公式中：

• N：一个符号的采样点数
• $\zeta$ζ ：阻尼因子（damping factor），描述该系统受到扰动后，振动衰减的情况。阻尼因子越小，即表明系统的衰减越小。
• $B_{n} T_{\mathrm{S}}$Bn​TS​：环路带宽（normalized loop bandwidth），可以理解为环路捕获频率偏差的大小。
• $K_p$Kp​ ：环路增益（detector gain）

在BPSK接收机中， $B_{n} T_{\mathrm{S}}$Bn​TS​一般为0.707， 初始设置可以选择0.01，如果环路无法捕获，试着将这个值调大。如果环路很快捕获，跟踪抖动很大，试着把这个值调小。

4 举例

BPSK系统，信源速率50bps，载波频率200Hz，频偏4Hz，采样频率4000Hz,相位差随机。

搭建Simulink模型，对上述系统进行简单的仿真。

两个参数计算得到：

$K_1=0.0889$K1​=0.0889$K_2=4.9377e{-05}$K2​=4.9377e−05

Simulink模型如图所示：

其中，Costas环部分如图所示：

我们主要考察Costas环的捕获和跟踪情况，run，观察结果，如图：

可以看到相位误差有一个明显的捕获和跟踪过程。

我们放大捕获之后的结果观察：
可以看到，Q路信号比较完美的恢复了原始信号，在后续进行bit同步，就可以将信号解调。

5 改进的结构

K.D.Aleksandrov在文章“Lock-in range of BPSK Costas”中提出一种改进的BPSK的Costas环的结构。和传统的结构相比，不用过低通滤波器就可以将结果进入鉴相器进行相位误差运算。结构如下：

除了结构上有所不同，其余参数均和传统环路的参数一致。仿真结果如下：

可以看到，这个结构也能够捕获和跟踪相位差。

6 结论

经过仿真，用改进的结构能够很好的进行频偏捕获和跟踪，而且因为信号没有经过低通滤波器，能够很好保留信号特征，捕获带宽要比传统结构大得多。因此推荐使用改进的Costas环结构。

当然，在工程实践中，还需要根据系统需求对参数进行反复调试，达到最佳效果。

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ps：知乎那篇差不多的也是我写的，在这边改进了一下，不是抄袭哈。