线性代数-线性转化和矩阵
线性转化
转化的直观理解
转化是函数映射的另一种表达，与函数一样，转化通过计算，将输入映射到输出：
5 2 − 3 → f ( x ) → 25 4 9 \begin{matrix}5\\2\\-3\end{matrix}\to f(x)\to\begin{matrix}25\\4\\9\end{matrix} 52−3→f(x)→2549
对于线性代数领域，我们将输入输出都用向量的形式来表示：
[ 5 7 ] V e c t o r i n p u t → L ( V → ) → [ 2 − 3 ] V e c t o r o u t p u t \begin{matrix}\begin{bmatrix}5\\7\\\end{bmatrix}\\Vector\,input\end{matrix}\to L(\overrightarrow{V})\to\begin{matrix}\begin{bmatrix}2\\-3\\\end{bmatrix}\\Vector\,output\end{matrix} [57]Vectorinput→L(V )→[2−3]Vectoroutput
所以我们为什么不用函数来表示这个过程，却要使用转化来描述呢？这是因为转化这个词暗含着运动这一概念，用运动来描述转化这一过程是更具有启发性的
像下面这个例子，两个向量分别是转化的输入和输出：
我们可以想象这个运动的过程：
同时为了从整体来理解这个运动的概念，我们可以假设在二维空间中的每一个向量都进行这这样的运动过程：
通过箭头的方式有些难理解，所以我们可以将每个向量抽象为一个点，这个点就是之前箭头的顶点
这样对于空间中的任何一个向量进行的一次转化，都可以理解为现在每个向量抽象成的点转化为另一个点。
在二维空间时，为了对整个转化的“形状”有更好的理解，我们可以将整个空间抽象成一个二维的表格：
同时保留原表格有助于我们追踪变化的开始和结束：
线性的限定条件
transformation可以很复杂，但是线性代数将transformation局限在了linear（线性）这一类型。
一个线性转化有如下两个性质：
- 所有的直线在转化后仍需保证为直线，不能变为曲线
- 原点必须维持原位
如下的例子中，直线转化变为了曲线，因此不是线性转化：
而在下面的例子中，原点发生了改变，因此也不是线性转化：
经由上面两个性质可以得到，线性变化后的网格会保持平行和均匀分布：
虽然有些的线性变化可以用语言描述，比如旋转等。但大部分线性变化还是很难用语言来形容，因此需要用一些数字特性来描述线性变化的过程。
这个数字特性可以用 i → \overrightarrow{i} i 和 j → \overrightarrow{j} j 的变化来表示。其他所有的变化都和这两个基础向量有关。
假设我们存在如下一个向量
v
→
\overrightarrow{v}
v
：
现在我们进行线性变换并追踪这三个变量（包括两个基向量）的变化：
因为表格现在还是平行和均匀分布的，所以我们可以发现一个很重要的规律：
对于转化后的两个基向量和
v
→
\overrightarrow{v}
v
，他们之前的线性关系现在仍然存在。这意味着可以从变化后的
i
→
\overrightarrow{i}
i
和
j
→
\overrightarrow{j}
j
推断出
v
→
\overrightarrow{v}
v
而转化后的
i
→
\overrightarrow{i}
i
和
j
→
\overrightarrow{j}
j
对应于之前的基向量可以得到如下的关系 ：
所以对于原基向量表示下的任何向量，只要知道转化后的基向量的坐标，就可以推导出转化后的任何向量的坐标：
还是以上图为例子，假如转化后：
i → → [ 1 − 2 ] j → → [ 3 0 ] \overrightarrow{i}\to\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}\qquad\overrightarrow{j}\to\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix} i →[1−2]j →[30]
现在对于任何的向量 ( x , y ) (x,y) (x,y)，都有如下的转化过程成立：
[ x y ] → x [ 1 − 2 ] + y [ 3 0 ] = [ 1 x + 3 y − 2 x + 0 y ] \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\to x\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1x+3y\\-2x+0y\end{bmatrix} [xy]→x[1−2]+y[30]=[1x+3y−2x+0y]
所以现在给定任何一个向量，都可以用上面的等式来计算得到转化后的向量。
从上面的讨论，我们可以看出一个二维的线性转化过程可以由四个数字来表示，那就是 i → \overrightarrow{i} i 和 j → \overrightarrow{j} j 转化后的坐标 [ 1 − 2 ] \begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix} [1−2]和 [ 3 0 ] \begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix} [30]
将这个两个坐标打包成一个2*2的矩阵，我们可以得到 [ 3 2 − 2 1 ] \begin{bmatrix}3&&2\\-2&&1\end{bmatrix} [3−221]
通用情况：
实例动态图演示：
所以当以后我们遇到一个矩阵的时候，我们可以将这个矩阵解释为一种特定的转化