平衡树（AVL）详解

1. 为什么平衡树？

在二叉搜索树（BST，Binary Search Tree）中提到，BST树可能会退化成一个链表（整棵树中只有左子树，或者只有右子树），这将大大影响二叉树的性能。

前苏联科学家G.M. Adelson-Velskii 和 E.M. Landis给出了答案。他们在1962年发表的一篇名为《An algorithm for the organization of information》的文章中提出了一种自平衡二叉查找树（self-balancing binary search tree）。这种二叉查找树在插入和删除操作中，可以通过一系列的旋转操作来保持平衡，从而保证了二叉查找树的查找效率。最终这种二叉查找树以他们的名字命名为“AVL-Tree”，它也被称为平衡二叉树（Balanced Binary Tree）。

2. 原理

在节点上设置一个平衡因子BF，代表左右子树的高度差，BF = { -1, 0, 1}。

3. 旋转

AVL的Insert/Delete操作可能会引起树的失衡，可以通过选择解决这个问题。

3.1 4种旋转

（1）LL

（2）RR

（3）LR

（4）RL

在下面的文章中有一个关于AVL选择的动画，大家不妨看看。

C#与数据结构--树论--平衡二叉树(AVL Tree)

3.2 旋转实现

在算法导论中给出旋转的伪代码：

LEFT-ROTATE(T, x)
 1  y ← right[x]            ▹ Set y.
 2  right[x] ← left[y]      ▹ Turn y's left subtree into x's right subtree.
 3  p[left[y]] ← x
 4  p[y] ← p[x]             ▹ Link x's parent to y.
 5  if p[x] = nil[T]
 6     then root[T] ← y
 7     else if x = left[p[x]]
 8             then left[p[x]] ← y
 9             else right[p[x]] ← y
10  left[y] ← x             ▹ Put x on y's left.
11  p[x] ← y

//旋转以root为根的子树，当高度改变，则返回true；高度未变则返回false
        private bool RotateSubTree(int bf) 
        {
            bool tallChange = true;
            Node root = path[p], newRoot = null;
            if (bf == 2) //当平衡因子为2时需要进行旋转操作
            {
                int leftBF = root.Left.BF;
                if (leftBF == -1) //LR型旋转
                {
                    newRoot = LR(root);
                }
                else if (leftBF == 1)
                {
                    newRoot = LL(root); //LL型旋转
                }
                else //当旋转根左孩子的bf为0时，只有删除时才会出现
                {
                    newRoot = LL(root);
                    tallChange = false;
                }
            }
            if (bf == -2) //当平衡因子为-2时需要进行旋转操作
            {
                int rightBF = root.Right.BF; //获取旋转根右孩子的平衡因子
                if (rightBF == 1) 
                {
                    newRoot = RL(root); //RL型旋转
                }
                else if (rightBF == -1)
                {
                    newRoot = RR(root); //RR型旋转
                }
                else //当旋转根左孩子的bf为0时，只有删除时才会出现
                {
                    newRoot = RR(root);
                    tallChange = false;
                }
            }
            //更改新的子树根
            if (p > 0)
            {
                if (root.Data < path[p - 1].Data)
                {
                    path[p - 1].Left = newRoot;
                }
                else
                {
                    path[p - 1].Right = newRoot;
                }
            }
            else
            {
                _head = newRoot; //如果旋转根为AVL树的根，则指定新AVL树根结点
            }
            return tallChange;
        }
        //root为旋转根，rootPrev为旋转根双亲结点
        private Node LL(Node root) //LL型旋转，返回旋转后的新子树根
        {
            Node rootNext = root.Left;
            root.Left = rootNext.Right;
            rootNext.Right = root;
            if (rootNext.BF == 1)
            {
                root.BF = 0;
                rootNext.BF = 0;
            }
            else //rootNext.BF==0的情况，删除时用
            {
                root.BF = 1;
                rootNext.BF = -1;
            }
            return rootNext; //rootNext为新子树的根
        }
        private Node LR(Node root) //LR型旋转，返回旋转后的新子树根
        {
            Node rootNext = root.Left;
            Node newRoot = rootNext.Right;
            root.Left = newRoot.Right;
            rootNext.Right = newRoot.Left;
            newRoot.Left = rootNext;
            newRoot.Right = root;
            switch (newRoot.BF) //改变平衡因子
            {
                case 0:
                    root.BF = 0;
                    rootNext.BF = 0;
                    break;
                case 1:
                    root.BF = -1;
                    rootNext.BF = 0;
                    break;
                case -1:
                    root.BF = 0;
                    rootNext.BF = 1;
                    break;
            }
            newRoot.BF = 0;
            return newRoot; //newRoot为新子树的根
        }
        private Node RR(Node root) //RR型旋转，返回旋转后的新子树根
        {
            Node rootNext = root.Right;
            root.Right = rootNext.Left;
            rootNext.Left = root;
            if (rootNext.BF == -1)
            {
                root.BF = 0;
                rootNext.BF = 0;
            }
            else //rootNext.BF==0的情况，删除时用
            {
                root.BF = -1;
                rootNext.BF = 1;
            }
            return rootNext; //rootNext为新子树的根
        }
        private Node RL(Node root) //RL型旋转，返回旋转后的新子树根
        {
            Node rootNext = root.Right;
            Node newRoot = rootNext.Left;
            root.Right = newRoot.Left;
            rootNext.Left = newRoot.Right;
            newRoot.Right = rootNext;
            newRoot.Left = root;
            switch (newRoot.BF) //改变平衡因子
            {
                case 0:
                    root.BF = 0;
                    rootNext.BF = 0;
                    break;
                case 1:
                    root.BF = 0;
                    rootNext.BF = -1;
                    break;
                case -1:
                    root.BF = 1;
                    rootNext.BF = 0;
                    break;
            }
            newRoot.BF = 0;
            return newRoot; //newRoot为新子树的根
        }

4. 插入与删除

4.1 插入

public bool Add(int value) //添加一个元素
        {   //如果是空树，则新结点成为二叉排序树的根
            if (_head == null)
            {
                _head = new Node(value);
                _head.BF = 0;
                return true;
            }
            p = 0;
            //prev为上一次访问的结点，current为当前访问结点
            Node prev = null, current = _head;
            while (current != null)
            {
                path[p++] = current; //将路径上的结点插入数组
                //如果插入值已存在，则插入失败
                if (current.Data == value)
                {
                    return false;
                }
                prev = current;
                //当插入值小于当前结点，则继续访问左子树，否则访问右子树
                current = (value < prev.Data) ? prev.Left : prev.Right;
            }
            current = new Node(value); //创建新结点
            current.BF = 0;
            if (value < prev.Data) //如果插入值小于双亲结点的值
            {
                prev.Left = current; //成为左孩子
            }
            else //如果插入值大于双亲结点的值
            {
                prev.Right = current; //成为右孩子
            }
            path[p] = current; //将新元素插入数组path的最后
            //修改插入点至根结点路径上各结点的平衡因子
            int bf = 0;
            while (p > 0)
            {   //bf表示平衡因子的改变量，当新结点插入左子树，则平衡因子+1
                //当新结点插入右子树，则平衡因子-1
                bf = (value < path[p - 1].Data) ? 1 : -1;
                path[--p].BF += bf; //改变当父结点的平衡因子
                bf = path[p].BF; //获取当前结点的平衡因子
                //判断当前结点平衡因子，如果为0表示该子树已平衡，不需再回溯
                //而改变祖先结点平衡因子，此时添加成功，直接返回
                if (bf == 0)
                {
                    return true;
                }
                else if (bf == 2 || bf == -2) //需要旋转的情况
                {
                    RotateSubTree(bf);
                    return true;
                }
            }
            return true;
        }
        

4.2 删除

 private void RemoveNode(Node node)
        {
            Node tmp = null;
            //当被删除结点存在左右子树时
            if (node.Left != null && node.Right != null)
            {
                tmp = node.Left; //获取左子树
                path[++p] = tmp;
                while (tmp.Right != null) //获取node的中序遍历前驱结点，并存放于tmp中
                {   //找到左子树中的最右下结点
                    tmp = tmp.Right;
                    path[++p] = tmp;
                }
                //用中序遍历前驱结点的值代替被删除结点的值
                node.Data = tmp.Data;
                if (path[p - 1] == node)
                {
                    path[p - 1].Left = tmp.Left;
                }
                else
                {
                    path[p - 1].Right = tmp.Left;
                }
            }
            else //当只有左子树或右子树或为叶子结点时
            {   //首先找到惟一的孩子结点
                tmp = node.Left;
                if (tmp == null) //如果只有右孩子或没孩子
                {
                    tmp = node.Right;
                }
                if (p > 0)
                {
                    if (path[p - 1].Left == node)
                    {   //如果被删结点是左孩子
                        path[p - 1].Left = tmp;
                    }
                    else
                    {   //如果被删结点是右孩子
                        path[p - 1].Right = tmp;
                    }
                }
                else  //当删除的是根结点时
                {
                    _head = tmp;
                }
            }
            //删除完后进行旋转，现在p指向实际被删除的结点
            int data = node.Data;
            while (p > 0)
            {   //bf表示平衡因子的改变量，当删除的是左子树中的结点时，平衡因子-1
                //当删除的是右子树的孩子时，平衡因子+1
                int bf = (data <= path[p - 1].Data) ? -1 : 1;
                path[--p].BF += bf; //改变当父结点的平衡因子
                bf = path[p].BF; //获取当前结点的平衡因子
                if (bf != 0) //如果bf==0，表明高度降低，继续后上回溯
                {
                    //如果bf为1或-1则说明高度未变，停止回溯，如果为2或-2，则进行旋转
                    //当旋转后高度不变，则停止回溯
                    if (bf == 1 || bf == -1 || !RotateSubTree(bf))
                    {
                        break;
                    }
                }
            }
        }