一个Warm-up question: 给定一个graph，判断里面有没有cycle。
方案1：直接遍历，如果遍历到了marked的点，就说明有cycle。需要O(V+E)的复杂度。

方案2：利用并查集。从根节点开始遍历，union其它节点。如果发现跟当前节点connected的节点，那证明有cycle。

这一章讲的是最小生成树，越来越抽象了。以上问题的算法最后会用到。

MST, Cut Property, Generic MST Algorithm

上MST的定义。

• spanning tree：对于一个无方向graph，spanning tree是它的一个子graph。首先它包含树的性质，没有cycle，所有节点全部相连。并且有spanning的性质，包含该graph的所有节点。
• minimum spanning tree: 拥有最小weight的spanning tree。

MST和SPT(shortest path tree)是完全不同的两个概念。SPT是source到其他节点的距离，而MST是graph的一个属性，跟source无关。下图例子显示了，有的时候对所有节点应用SPT算法，也不能正确得出MST。

下面提出cut, crossing edge, cut property的概念，准备提出新的最小生成树算法。

• cut: 把graph的节点分成两部分
• crossing edge: 在cut之后，连接graph两个部分的一条边
• cut property: 一条定理。对于任何cut，最小的crossing edge一定在MST上

可以用反证法证明该定理：假设minimum crossing edge不在MST上。对于这条边连接的graph的两部分，肯定也有一条crossing edge在MST上，因为MST需要连接所有的顶点。那么将这条边换成minimum crossing edge，MST的weight会更小，所以此时的MST不是真正的MST，矛盾。

到这里可以得出MST的算法：

• 先cut graph，不过得保证crossing edges都不在MST上
• 然后向MST中加入minimum crossing edge
• 重复

最大的问题是第一步，如何找到所有crossing edges都不在MST中的cut呢？

Prim’s Algorithm

Prim算法是这样的：从某个节点开始，加入和已经形成的tree距离最小的节点。

想想看，如果逐个添加节点，cut的两部分就是已经形成的tree和剩下的节点，这肯定保证了两部分之间的连线不包含在tree中。

Prim算法的实现非常像Dijkstra算法。只不过将到根节点的距离换成到tree的距离。按照到tree的距离的一个BFT算法。不多说了。

分析runtime。insert和delete都是V次，每次O(log V)。每次decrease priority会花费O(log V)，共有E次。这里E次还是不太懂

Kruskal’s Algorithm

Kruskal算法实现起来更加简单。首先把所有的边按照weight排序，然后逐个添加edge到MST中，除非加入后会产生cycle。

假设要向MST中加入顶点v和w组成的edge。可以想象，这条edge是连接两个side的（两个顶点各自的集合）。加入后不产生cycle，保证了目前两个side间没有任何crossing edge在MST中；按照weight从小到大添加，保证了此时没有任何crossing edge比这条edge大，由之前的property，可以证明这条edge一定在MST上。

实现。这会就用到了开头说的如何判断cycle的方法。

分析runtime。共有按照顺序insert到PQ，delete最小PQ，以及并查集的union和isConnected。