MIT 线性代数导论 第三讲：矩阵乘法与逆矩阵

为了以后自己看的明白(●’◡’●)，我决定对复杂的计算过程不再用Latex插入数学公式了（记得不熟的实在是太费劲了，还是手写好~）

第三讲的主要内容有两个：

• 四种矩阵乘法的方式
• 逆矩阵的概念以及计算方式

矩阵乘法（Matrix multiplication）

矩阵相乘例子：
$\begin{pmatrix} A\\ (m,n) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B\\ (n,p) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} C\\ (m,p) \end{pmatrix}$(A(m,n)​)(B(n,p)​)=(C(m,p)​)

1、具体到元素的乘法方式

结果矩阵 $C$C 的某一个元素 $C_{ij}$Cij​ 是由 $A$A 矩阵的第 $i$i 行元素与 $B$B 矩阵的第 $j$j 列相乘得到的，使用公式表示如下
$C_{ij}=\sum_{k=1}^{n}A_{i,k}B_{k,j}$Cij​=k=1∑n​Ai,k​Bk,j​

这是我们理解矩阵乘法一般的思想，但是在线性代数中，更好的方式是整体，也就是之前所提到的用向量乘的方式理解矩阵相乘，所以就有了接下来的方式

2.行方法

之前我们提到过行向量乘矩阵，可以理解为矩阵中行向量的线性组合，其实矩阵乘法也是如此，将左侧矩阵 $A$A 看作是多个行向量， 那么矩阵乘法就可以看作是多个行向量乘矩阵 $B$B ，将结果行向量（行向量乘以矩阵结果仍仍然是行向量）拼在一起就是结果矩阵 $C$C。
简单来说就是把 $B$B 中的行向量作为基准，用 $A$A 中的行向量对其进行线性组合
例如：

其实就是将矩阵 $A$A ，也就是将左侧矩阵的每一个行向量去乘右侧的矩阵，那么每一个 $A$A 的行向量乘矩阵 $B$B 的结果作为结果矩阵的一个行向量，最后所有的向量乘矩阵计算完成之后就组成结果矩阵了。

3.列方法

同理，如果我们用左侧矩阵 $A$A 乘右侧矩阵 $B$B 的每一个列向量，其结果就是结果矩阵 $C$C 中的对应位置的列向量：

4.行列向量相乘

结合上面的两种方式，我们可以考虑对于结果矩阵 $C$C 中的位置为 $(i,j)$(i,j) 的元素是如何得到的，在第一种方式我们知道是矩阵 $A$A 的第 $i$i 行的每一个元素乘以矩阵 $B$B 的第 $j$j 列的每一个元素的和，其实从整体行列响亮的角度来看，其实就是 $A$A 第 $i$i 个行向量乘以 $B$B 的第 $j$j 个列向量（行向量乘以列向量结果是一个元素）

矩阵分块乘法

简单的提了一下分块乘法：
$\begin{pmatrix} A_{1} &A_{2} \\ A_{3} &A_{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{1} &B_{2} \\ B_{3} &B_{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{1}B_{1}+A_{2}B_{3} &A_{1}B_{2}+A_{2}B_{4} \\ A_{3}B_{1}+A_{4}B_{3} &A_{3}B_{2}+A_{4}B_{4} \end{pmatrix}$(A1​A3​​A2​A4​​)(B1​B3​​B2​B4​​)=(A1​B1​+A2​B3​A3​B1​+A4​B3​​A1​B2​+A2​B4​A3​B2​+A4​B4​​)
其中 $A$A ，$B$B 均代表矩阵

逆矩阵（Inverse matrix）

矩阵的逆（称为逆矩阵），也就是求解下式：
$A^{-1}A=I$A−1A=I
$I$I 是单位矩阵（identity matrix），首先明确一点，上式是左乘了一个矩阵使之称为单位阵，那么右乘一个矩阵使得结果矩阵成为单位阵那又如何呢？直接给出结果：
$A^{-1}A=AA^{-1}=I$A−1A=AA−1=I
也就是说矩阵的逆唯一，当然这里有前提：这是对方阵而言，如果只是普通的矩阵，那显然左逆与右逆 的维数不一样，也就不会相等了。
接下来考虑的问题是对于一个方阵，是否一定存在逆矩阵？
举一个例子：
$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 6 \end{pmatrix}X=I$(12​36​)X=I
是否存在逆矩阵？结果是找不到的，可以这样理解：
首先我们可以发现这个矩阵的列向量是存在倍数关系的，第二列是第一列的2倍。
如果我们用上面列方法来考虑，也就是说矩阵 $I$I 的列向量都是左侧矩阵的列向量的线性组合，也就是说，矩阵 $I$I 的某一列是 $k\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} +p\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$k(12​)+p(36​) 这样的结果可以合并为 $m\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$m(12​) 显然这个结果肯定不会是单位阵中的某一列（因为特点是一列中只有一个1，其余的元素都是0）

接下来讨论如何求解一个方阵的逆：
一般的方法，就是假设出 $A^{-1}$A−1 中的元素，然后就是一个解线性方程组的过程了，更好的方式是将矩阵放在一起考虑，这个方法叫做高斯-若尔当方法（Guass-Jordan），方法如下：
求解 方阵 $A$A 的逆
首先构造这样的矩阵：
$(A,I)$(A,I)
就像增广矩阵一样，在右侧添加一个单位阵，接下来，如果我们对整个矩阵进行一系列行变换使得矩阵中 $A$A 变为单位阵：
$(I,?)$(I,?)
那么此时原来的单位阵变成了什么？首先用消元法的思想表示上面的过程：
$E(A,I)=(EA, EI)，EA=I$E(A,I)=(EA,EI)，EA=I
这里将E乘到里面是为了更方便理解（可以想一下，左乘矩阵 $E$E ，是对整个矩阵进行行变换，所以列都是同步变化的）
因为 $EA=I$EA=I成立，逆是唯一的，所以 $EI$EI 就应该是 $A$A 的逆矩阵了。
同时对两个矩阵进行行变换求逆矩阵，就是高斯-若尔当方法的思想
例子：
$\begin{pmatrix} 1 &3 & \vdots &1 &0 \\ 2& 7 & \vdots &0 &1 \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 &3 & \vdots &1 &0 \\ 0& 1 & \vdots &-2 &1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 &0 & \vdots &7 &-3 \\ 0& 1 & \vdots &-2 &1 \end{pmatrix}\Leftrightarrow \begin{pmatrix} I & A^{-1} \end{pmatrix}$⎝⎛​12​37​⋮⋮​10​01​⎠⎞​⇒⎝⎛​10​31​⋮⋮​1−2​01​⎠⎞​⇒⎝⎛​10​01​⋮⋮​7−2​−31​⎠⎞​⇔(I​A−1​)
以上~