不动点迭代法计算三元一次方程及不同迭代函数对收敛性的影响

题：

  用不动点迭代法求方程f(x)=x^3-2*x-1=0的根，按以下两种方案实现，分析迭代函数对收敛性的影响。要求输出每次的迭代结果并统计所用的迭代次数,取精度c=0.5*10^(-5)，x0=2.

 方案一：化方程为等价方程x=pow(2*x+1,1.0/3)=g(x)

方案二：化方程为等价方程x=（x^3-1）/2

程序流程图：（流程图出自计算方法——江西高校出版社）

 

 

方案一：

代码：

#include <iostream>
using namespace std;
#include<math.h>
#include<iomanip>
int main()
{
    double x0=0, c = 0.5 * 1e-5,x1=2;
    int i = 0;
    cout <<setw(3)<< 'i' <<  setw(12) << "x0" << setw(12) << "x1" << endl;
    for(i = 0; abs(x1 - x0) >= c;i++)//如果未满足精度要求
    {
        x0 = x1;
        x1 = pow(2 * x0 + 1, 1.0 / 3);
        cout << setw(3) << i << setiosflags(ios::fixed) << setprecision(6) << setw(12) << x0 << setw(12) << x1 << endl;
    }
    return 0;
}

 

书本中的方法分析：

      对于二分法来说只要设置了精度，无论它是多小的一个数，不断地二分，区间也能很快收敛，程序就能在一定时间内结束；

而对于迭代法，程序可能不收敛，所以需要设置一个大迭代次数MAXREPT防止不停输出。

      对于精度c，区间a和b，以及三次方根的函数均可是不变的，固定的，用宏定义，使程序可读性更好。

 

 

计算结果：

 

 

方案二：

代码：

#include <iostream>
using namespace std;
#include<iomanip>
#define MAXREPT 10//最大迭代次数
#define c 0.5e-5//精度
#define g(x) (x*x*x-1)/2
void main()
{
    double x0 = 2,x1=2;
    int i = 0;
    cout << setw(3) << 'i' << setw(12) << "x0" << setw(12) << "x1" << endl;
    for (i = 0; i < MAXREPT; i++)//迭代10次
    {
        x0 = x1;
        x1 = g(x0);
        cout << setw(3) << i << cout.precision(5) << setw(12) << x0<<setw(12) << x1 << endl;
        if (abs(x1 - x0) <= c)
        {
            break;
        }
    }
}
 

计算结果：

 

结果不收敛。可见对于不动点迭代法选取不同的g(x)，收敛性不同。