大学物理第七章“机械波”复习笔记

一、机械波的产生与传播

1.机械波的产生

（1）条件：介质+振源

（2）分类：横波（固态介质中传播）+纵波（固液气中传播）

（3）易错点

• 波动过程中，各质点围绕平衡位置做简谐振动，质点不随波前进，是振动状态的传播
• 先振动的相位超过后震动的相位
• 波形曲线是波动过程中某时刻各质点离开平衡位置的真实拍照

（4）机械波的几何描述

①波面：相位相同的点连接成的平面称为波面（波阵面或者同相面）

②波线

③波前

（5）波动参量

①波长$\lambda$λ：描写波在空间上的周期性

②波速$u$u：只与介质，温度，横纵有关（与波源无关）

③周期$T=\frac{1}{v}$T=v1​：波前进一个波长的距离所学要的时间

综上可知
$\lambda=uT\\$λ=uT

二、平面简谐波

1.平面简谐波的波动方程

（1）波面方程的建立：

波面上某点o的振动方程为：
$y_0=Acos(\omega t+\varphi)$y0​=Acos(ωt+φ)
取o点为坐标原点

则P点的振动方程为：
$y_p=Acos(\omega{(t-\Delta{t})+\varphi})=Acos(\omega{(t-\frac{x}{u})+\varphi})$yp​=Acos(ω(t−Δt)+φ)=Acos(ω(t−ux​)+φ)
式中 $x$x是代数量， $x>0$x>0 P点振动比o 点落后 $\Delta t $

$x <0$x<0 P点振动比 o点超前$\Delta t$Δt

2.波动方程的物理意义

$y_p=Acos(\omega{(t-\Delta{t})+\varphi})=Acos(\omega{(t-\frac{x}{u})+\varphi})\\ 求导即可得速度方程$yp​=Acos(ω(t−Δt)+φ)=Acos(ω(t−ux​)+φ)求导即可得速度方程

此方程为坐标为 $x_0$x0​ 的质点的振动方程

恒等式：
$\frac{\lambda}{\Delta x}=\frac{T}{\Delta t}=\frac{2\pi}{\Delta \varphi}$Δxλ​=ΔtT​=Δφ2π​

三、波的能量

1.波的能量和能量密度

波函数：
$y=Acos(\omega (t-\frac{x}{u})t+\varphi_0)$y=Acos(ω(t−ux​)t+φ0​)
在绳子x处，取一段长为$\Delta x$Δx的线元，绳子的线密度为$\mu$μ，则此线元的质量$\Delta m=\mu \Delta x$Δm=μΔx

则线元的动能为
$E_k=\frac{1}{2}\Delta mv^2=\frac{1}{2}\mu \Delta x(\frac {\partial y } {\partial x })^2=\frac{1}{2}\mu \Delta xA^2\omega^2sin^2(\omega (t-\frac{x}{u})t+\varphi_0)$Ek​=21​Δmv2=21​μΔx(∂x∂y​)2=21​μΔxA2ω2sin2(ω(t−ux​)t+φ0​)
线元会发生形变，有势能：
$E_p=\frac{1}{2}\mu \Delta xA^2\omega^2sin^2(\omega (t-\frac{x}{u})t+\varphi_0)$Ep​=21​μΔxA2ω2sin2(ω(t−ux​)t+φ0​)
所以总能量：
$E=E_p+E_k=u \Delta xA^2\omega^2sin^2(\omega (t-\frac{x}{u})t+\varphi_0)$E=Ep​+Ek​=uΔxA2ω2sin2(ω(t−ux​)t+φ0​)
注意：

• 在振动过程中$E_k,E_p$Ek​,Ep​随着t做相同的余弦函数变化，同向变化
• 最大位移处，动能和势能都为0
• 平衡位置处，动能和势能都为最大值

2.比较振动和波动的不同

• 振动
  • 密闭系统，总能量不变，$E_p和E_k$Ep​和Ek​相互转换，和始终为$\frac{1}{2}kA^2$21​kA2
  • $E_k$Ek​最大时，$E_p$Ep​最小，反之一样
• 波动
  • 开放系统，有能量的吸收和传递
  • 能量是周期函数$u \Delta xA^2\omega^2sin^2(\omega (t-\frac{x}{u})t+\varphi_0)$uΔxA2ω2sin2(ω(t−ux​)t+φ0​)

3.关于波的能量的几个名词

（1）能量密度

单位体积中波的能量
$w=\frac{W}{\Delta V}=\rho A^2\omega^2sin^2(\omega (t-\frac{x}{u})t+\varphi_0)$w=ΔVW​=ρA2ω2sin2(ω(t−ux​)t+φ0​)
其中$\rho$ρ为单位体积的质量

（2）平均能量密度

$w'=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2$w′=21​ρA2ω2

可见$I∝A^2$I∝A2具有普遍意义

（3）波的强度（平均能流密度）

$I=uw'=\frac{1}{2}\rho A^2\omega^2u$I=uw′=21​ρA2ω2u

4.平面波和球面波的振幅

• 平面波在均匀介质中传播，$A$A不变

• 球面波在均匀介质中传播，A和传播的距离r成反比
  $A_1r_1=A_2r_2$A1​r1​=A2​r2​

四、惠更斯原理

1.内容

• 行进中，波面上的任意一点可以看做新的子波源
• 所有子波源各自向外发出许多子波
• 各个子波形成的包络面，就是原波面在一定时间传播到的新波面

2.说明

• 解释了衍射，反射，折射
• 未涉及振幅相位变化规律

五、波的干涉

1.相干条件

同频率，同振向，恒定相位差

2.分析相干现象的原因

$A=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos\Delta \varphi$A=A12​+A22​+2A1​A2​cosΔφ

上式中的A为合成振动的振幅，$\Delta\varphi$Δφ为两波的相位差，从而易知：
$\Delta\varphi=\begin{cases} 2k\pi（振动加强）\\ (2k+1)\pi（振动减弱）\\ \end{cases}$Δφ={2kπ（振动加强）(2k+1)π（振动减弱）​
并且，加强处永远加强，减弱处永远减弱

若$\varphi_1=\varphi_2$φ1​=φ2​则上述相干条件化为
$\delta=r_2-r_1=\begin{cases} ±k\lambda，干涉加强，干涉相长\begin{cases} A=2A_0\\ I=4I_0\\ \end{cases}\\ ±(2k+1)\lambda，干涉减弱，干涉相消\begin{cases} A=0\\ I=0\\ \end{cases}\\ \end{cases}$δ=r2​−r1​=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​±kλ，干涉加强，干涉相长{A=2A0​I=4I0​​±(2k+1)λ，干涉减弱，干涉相消{A=0I=0​​

六、驻波

1.形成驻波的条件

两列相干波：同振幅A，传播方向相反（叠加形成驻波）

相干波：同频，同振向，恒定相位差

2.驻波方程

（1）驻波方程

两列波在t=0处的波形重合；选取二列波使该点的振动具有相同的相位$\varphi=0$φ=0处为原点

则，左右行波的方程为：
$y_1=Acos(\omega t-2\pi\frac{x}{\lambda})\\ y_2=Acos(\omega t+2\pi\frac{x}{\lambda})$y1​=Acos(ωt−2πλx​)y2​=Acos(ωt+2πλx​)
代数和:
$y=y_1+y_2=2Acos2\pi\frac{x}{\lambda}cos\omega t，驻波的波动方程$y=y1​+y2​=2Acos2πλx​cosωt，驻波的波动方程
余弦函数的最大值:
$2Acos\omega t_0$2Acosωt0​
随着时间t变化

（2）固定一个点$x=x_0$x=x0​，即得到$x_0$x0​点的振动方程

$y=2Acos2\pi\frac{x_0}{\lambda}cos\omega t$y=2Acos2πλx0​​cosωt

可知，振幅是x的函数，在波动的一个周期内引起各点的振幅不同，但是同时到达最大振幅处

• 振动加强处：振幅为2A

• 振动减弱处：振幅为0

（3）腹点与节点

• 腹点
  $|cos2\pi\frac{x}{\lambda}|=1\Rightarrow 2\pi\frac{x}{\lambda}=k\pi\\ \Rightarrow x=k\frac{\lambda}{2}\\ k=0,±1,... 相邻腹点之间间隔\frac{\lambda}{2}$∣cos2πλx​∣=1⇒2πλx​=kπ⇒x=k2λ​k=0,±1,...相邻腹点之间间隔2λ​

• 节点
  $|cos2\pi\frac{x}{\lambda}|=0\Rightarrow 2\pi\frac{x}{\lambda}=(2k+1)\frac{\pi}{2}\\ \Rightarrow x=(2k+1)\frac{\lambda}{4}\\ k=0,±1,....相邻节点之间相距\frac{\lambda}{2}$∣cos2πλx​∣=0⇒2πλx​=(2k+1)2π​⇒x=(2k+1)4λ​k=0,±1,....相邻节点之间相距2λ​
  相邻腹点，节点之间的距离为$\frac{\lambda}{4}$4λ​

• 各质点的相位特点

  • 同一段有相同相位
  • 相邻段的相位相反

• 驻波的能量：不向前传，只是在波节和波腹之间进行动能势能的相互转换

3.半波损失

（1）发生条件：

波疏介质传播到波密介质，在反射点发生半波损失，反射点称为节点

（2）半波损失的描述

1°波从波疏介质进入波密介质再反回波疏介质，反射点必有半波损失

2°波在反射点发生相位突变，反射点必有半波损失

3°反射点为固定点（或节点），反射点必有半波损失

（3）注意：

若发生半波损失，记得将波程差加上$\frac{\lambda}{2}$2λ​，或者相位加上$\pi$π

七、多普勒效应

1.多普勒效应的概念

设s为振源，O为观测点，有如下的结论：
$o向着s运动：\nu=\frac{u+v_o}{u}\nu_0\\ o远离s运动：\nu=\frac{u-v_0}{u}\nu_0\\ s向着o运动：\nu=\frac{u}{u-v_s}\nu_0\\ s远离o运动：\nu=\frac{u}{u+v_s}\nu_0\\$o向着s运动：ν=uu+vo​​ν0​o远离s运动：ν=uu−v0​​ν0​s向着o运动：ν=u−vs​u​ν0​s远离o运动：ν=u+vs​u​ν0​

2.多普勒效应的应用

• 红移
• 汽车测速
• 卫星跟踪