机器为什么能够学习？

本系列是台湾大学资讯工程系林軒田（Hsuan-Tien Lin）教授开设的《机器学习基石》课程的梳理。重在梳理，而非详细的笔记，因此可能会略去一些细节。

该课程共16讲，分为4个部分：

1. 机器什么时候能够学习？（When Can Machines Learn？）
2. 机器为什么能够学习？（Why Can Machines Learn？）
3. 机器怎样学习？（How Can Machines Learn？）
4. 机器怎样可以学得更好？（How Can Machines Learn Better？）

本文是第2部分，对应原课程中的4-8讲。

本部分的主要内容：

• 用案例引出学习可行性的疑问；
• 详细介绍VC维理论，它给出了机器学习的可靠性保证；
• 介绍误差的度量，以及对误差权重不同的情况的处理方法。

1 学习可行性的疑问

先来一个小学奥数题/公务员考试题：

其实这个题没有标准答案，以下两种解答都是对的：

• 对称为$+1$+1，非对称为$-1$−1，因此答案是$+1$+1；
• 最左上角的格子白色为$+1$+1，黑色为$-1$−1，因此答案是$-1$−1；

因此，选择不同的规则，你会获得不同的答案。那么，如果给你一些历史数据，机器学习出某种规则，是否也会遇到这样的情况呢？

2 机器学习的可靠性保证

2.1 Hoeffding不等式

来看另一个问题：有一个罐子，里面装有许许多多黄色和绿色的小球，该如何估计黄球的比例？

很简单，抽样就行了。抽出一部分样本，计算得到样本中的黄球比例$\nu$ν，用这个比例作为罐子中的黄球比例$\mu$μ的估计即可。这样的估计准不准呢？在统计学中，有Hoeffding不等式给出准确率的界限：

$\mathbb{P}[\vert\nu-\mu\vert>\epsilon]\le 2\exp{(-2\epsilon^2 N)}$P[∣ν−μ∣>ϵ]≤2exp(−2ϵ2N)

其中$N$N为抽样的样本个数。这个式子的意思是，$\nu$ν和$\mu$μ相差较远的概率会有一个上限，在大样本下，这个上限会比较小，因此$\nu=\mu$ν=μ可以叫做概率近似正确（PAC，probably approximately correct）。

2.2 机器学习中的Hoeffding不等式

现在将这个过程类比到机器学习中。罐子中的小球对应于$\mathcal{X}$X中的单个数据$\mathbf{x}$x，给定假设集中的一个假设$h$h，罐子中黄球的比例就对应于$\mathcal{X}$X中使得$h(\mathbf{x})=f(\mathbf{x})$h(x)=f(x)的$\mathbf{x}$x的比例。现在抽取出一部分样本，这个样本对应于现有的数据集$\mathcal{D}$D，我们可以很容易地知道对$\mathcal{D}$D中每一个数据$(\mathbf{x}_n,y_n)$(xn​,yn​)是否有$h(\mathbf{x}_n)=y_n$h(xn​)=yn​，若相等，对应的小球为黄色，反之为绿色。我们的目的，是要知道在整个$\mathcal{X}$X中满足$h(\mathbf{x})=f(\mathbf{x})$h(x)=f(x)的$\mathbf{x}$x的比例有多少。

若$N$N足够大，且$\mathbf{x}_n$xn​为i.i.d.，对于某个固定的$h$h来说，就可以用已知的$E_{\text{in}}(h)=\dfrac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N} \mathbf{1}_{[h(\mathbf{x}_n)\ne y_n]}$Ein​(h)=N1​n=1∑N​1[h(xn​)​=yn​]​去推断$E_{\text{out}}(h)=\mathop{\mathcal{E}}\limits_{\mathbf{x}\sim P}\mathbf{1}_{[h(\mathbf{x})\ne f(\mathbf{x})]}$Eout​(h)=x∼PE​1[h(x)​=f(x)]​，从而判断该$h$h的表现如何，如下图：

根据Hoeffding不等式，就是

$\mathbb{P}[\vert E_{\text{in}}(h)-E_{\text{out}}(h)\vert>\epsilon]\le 2\exp{(-2\epsilon^2 N)}$P[∣Ein​(h)−Eout​(h)∣>ϵ]≤2exp(−2ϵ2N)

如果$E_{\text{in}}(h)$Ein​(h)和$E_{\text{out}}(h)$Eout​(h)足够接近，并且$E_{\text{in}}(h)$Ein​(h)足够小，这就能保证$E_{\text{out}}(h)$Eout​(h)足够小，也就能判断出对于抽样过程$P$P，有$h\approx f$h≈f。

但是，这只能用来判断某个$h$h是否足够好。如果现在是用算法$\mathcal{A}$A从假设集$\mathcal{H}$H中选出一个$h$h，再套用上面的不等式，就会有问题。试想一下，假设有150个人，每人丢5次硬币，就有超过99%的概率会出现有某个丢5次硬币都是正面的人，这能说明他的丢硬币技术比其他人高吗？如果选择他作为我们的“$g$g”，能保证他以后再去丢硬币，得到正面的概率也比其他人更大吗？

同理，如果是从$\mathcal{H}$H中选出一个在样本$\mathcal{D}$D内误差最小的$g$g，能保证它在$\mathcal{D}$D外也是更好的吗？想要得到这样的保证，还需对不等式做一些修正。

对每个$h$h，都可能会有一些$\mathcal{D}$D，使得$h$h在它上面的$E_{\text{in}}(h)$Ein​(h)和真正的$E_{\text{out}}(h)$Eout​(h)相差很大，把这种$\mathcal{D}$D称作“坏的”，Hoeffding不等式本质上是保证抽到坏的$\mathcal{D}$D的概率有一个上限。记$\vert\mathcal{H}\vert=M$∣H∣=M，即共有$M$M个$h$h，我们想要保证的是不管最后$\mathcal{A}$A选出了哪个，$\mathcal{D}$D是“坏的”的概率都有较小的上限，因此，要计算的应该是对至少一个$h$h来说$\mathcal{D}$D是“坏的”的概率：

$\begin{aligned} &\mathbb{P}_{\mathcal{D}}[(\textbf{BAD } \mathcal{D} \text{ for } h_1) \textbf{ or } (\textbf{BAD } \mathcal{D} \text{ for } h_2) \textbf{ or } \ldots \textbf{ or } (\textbf{BAD } \mathcal{D} \text{ for } h_M) ]\\ \le& \mathbb{P}_{\mathcal{D}}[\textbf{BAD } \mathcal{D} \text{ for } h_1] + \mathbb{P}_{\mathcal{D}}[\textbf{BAD } \mathcal{D} \text{ for } h_2] +\ldots+\mathbb{P}_{\mathcal{D}}[\textbf{BAD } \mathcal{D} \text{ for } h_M]\\ \le& 2\exp{(-2\epsilon^2 N)}+2\exp{(-2\epsilon^2 N)}+\ldots+2\exp{(-2\epsilon^2 N)}\\ =& 2M\exp{(-2\epsilon^2 N)} \end{aligned}$≤≤=​PD​[(BAD D for h1​) or (BAD D for h2​) or … or (BAD D for hM​)]PD​[BAD D for h1​]+PD​[BAD D for h2​]+…+PD​[BAD D for hM​]2exp(−2ϵ2N)+2exp(−2ϵ2N)+…+2exp(−2ϵ2N)2Mexp(−2ϵ2N)​

这才是$\mathcal{A}$A选出来的$h$h的$E_{\text{in}}(h)$Ein​(h)和$E_{\text{out}}(h)$Eout​(h)距离的上限。但在上面的过程中，因为对事件的并集直接用了加的运算，这个上限被放得太大了，由于不同的$h$h对应的“坏的”$\mathcal{D}$D很可能有很大重叠，因此真实的上限应该要小得多。如图：

另外，$M$M如果是有限的，根据上式，我们还是可以通过增大$N$N来保证$E_{\text{in}}(h)$Ein​(h)和$E_{\text{out}}(h)$Eout​(h)足够接近，但如果$M$M是无限的呢？如在PLA中，系数的取值就可以是无限多个，因此PLA的$M$M是无穷大的。

2.3 VC维

$M$M为无穷大时，还是有办法的。尽管PLA的$M$M是无穷大，但其实，我们可以对它的$\mathcal{H}$H中的元素进行分类，只要样本个数是有限的，它的类别就是有限的。比如在只有一个样本的情况中，二维PLA的$\mathcal{H}$H中的元素（就是二维平面上的所有直线）可以简单分为两类，一类是把该样本点分为正的，一类是把该样本点分为负的：

而在两个样本的情况中，$\mathcal{H}$H中的元素可以分为4类：

三个样本时可分为8类：

但若3个点共线，那么只有6类：

而当有4个样本时，$\mathcal{H}$H中的元素最多只能分成14类：

这说明，在PLA中，有$N$N个样本时，有效的$M$M会小于等于$2^N$2N。

接下来，引入几个概念：

• 二分（Dichotomies）：对$N$N个样本，每个样本都有正负两种可能，将所有样本组成的每一种可能称为一个dichotomy，dichotomies的集合可记为$\mathcal{H}(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots,\mathbf{x}_N)$H(x1​,x2​,…,xN​)，显然，集合中元素个数的上限是$2^N$2N；
• 成长函数（Growth Function）：定义成长函数$m_{\mathcal{H}}(N)=\max\limits_{\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots,\mathbf{x}_N \in \mathcal{X}} \vert \mathcal{H}(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots,\mathbf{x}_N) \vert$mH​(N)=x1​,x2​,…,xN​∈Xmax​∣H(x1​,x2​,…,xN​)∣，它的上限是$2^N$2N，对于大多数模型（如二维感知机）的$\mathcal{H}$H来说，$m_{\mathcal{H}}(N)$mH​(N)比$2^N$2N小，仅为多项式大小；
• 打散（Shatter）：如果$\mathcal{H}$H可以完全实现$N$N个样本的$2^N$2N种dichotomies，则称$N$N个点可被$\mathcal{H}$H打散；
• 突破点（Break Point）：若$k$k个点无论如何也无法被$\mathcal{H}$H打散，则称$k$k为$\mathcal{H}$H的break point，根据定义，所有比$k$k大的整数也都会成为break points，对于二维感知机来说，从4开始就是它的break point。

接下来就是要找到，break point和$m_{\mathcal{H}}(N)$mH​(N)的关系。

我们继续引入界限函数（Bounding Function）的概念：$B(N,k)$B(N,k)，它是当最小的break point为$k$k时的最大可能$m_{\mathcal{H}}(N)$mH​(N)。那么，该如何计算它或者它的上限？

首先，当$k=2$k=2时，表示任意两个点都不能被打散，因此当$N=2$N=2时有$B(2,2)=3$B(2,2)=3，即最多能列举出3种dichotomies（4种就是这两个点被打散了），当$N=3$N=3时有$B(3,2)=4$B(3,2)=4（穷举法可知）。而当$k=1$k=1时，由于任何一个点都不能被打散，因此只能有一种dichotomy，即$B(N,1)=1$B(N,1)=1。另外，如果$k>N$k>N，由于小于$k$k个样本点都能被打散，因此会有$B(N,k)=2^N$B(N,k)=2N。而如果$N=k$N=k，那么只需在$2^N$2N个被打散的点中拿掉一种dichotomy，就能满足这$N$N个点不被打散的概念了，因此有$B(N,k)=2^N-1$B(N,k)=2N−1。

到目前为止，在下面这张函数表中还有一部分没有计算：

不妨先来看$B(4,3)$B(4,3)该如何计算。如果用穷举法，可以得出$B(4,3)=11$B(4,3)=11：

观察这11种dichotomies发现，它们可以分成两组，其中一组的前3个点是有重复的，它们成为不同的dichotomies仅仅是因为$\mathbf{x}_4$x4​不同，而另一组的前3个点没有重复。

如果把前3个点有重复的8种dichotomies记为$2\alpha$2α（只看前3个点就是$\alpha$α种），后3种记为$\beta$β，那么就有$2\alpha+\beta=11$2α+β=11。而其实，$B(4,3)$B(4,3)无非就是比$B(3,\cdot)$B(3,⋅)多了一个点，假设现在把最后一个点去掉，那么前3个点只可能有$\alpha+\beta$α+β种dichotomies（因为第一组$2\alpha$2α种是前面3个点各重复两次，因此需要剔除一半），由于$B(4,3)$B(4,3)中任意3个点都不能被打散，因此前3个点也必须不能被打散，所以有$\alpha+\beta\le B(3,3)$α+β≤B(3,3)。

另一方面，由于$2\alpha$2α组中的4个点中，任意3个点都不能被打散，而第4个点是在每一组前3个点固定的情况下取正/负，因此前3个点中的任意2个点都不能被打散（否则在加入第4个点后就会有3个点被打散）。因此，必须要保证$\alpha\le B(3,2)$α≤B(3,2)。

由此可知，$B(4,3)=2\alpha+\beta \le B(3,3)+B(3,2)$B(4,3)=2α+β≤B(3,3)+B(3,2)，以此类推，有$B(N,k)\le B(N-1,k)+B(N-1,k-1)$B(N,k)≤B(N−1,k)+B(N−1,k−1)，最终结果如图：

用数学归纳法即可证明：$B(N,k)\le \sum\limits_{i=0}^{k-1}\binom{N}{i}$B(N,k)≤i=0∑k−1​(iN​)，具体过程在此略过。事实上，可以证明得$B(N,k)=\sum\limits_{i=0}^{k-1}\binom{N}{i}$B(N,k)=i=0∑k−1​(iN​)，具体的数学过程较复杂，课程中也略过了。该式说明，$B(N,k)$B(N,k)中成长最快的一项最多就是$N^{k-1}$Nk−1的成长速度。

由$B(N,k)$B(N,k)的定义，只要break point $k$k存在，那么$m_{\mathcal{H}}(N)$mH​(N)的上限就是$B(N,k)$B(N,k)，也因此，$m_{\mathcal{H}}(N)$mH​(N)中成长最快的一项最多就是$N^{k-1}$Nk−1的成长速度。

在有了$m_{\mathcal{H}}(N)$mH​(N)后，想用它取代$M$M，还需要做一些处理，具体在此略过。最后可以得到的是Vapnik-Chervonenkis（VC） bound：
$\mathbb{P}[\exists h \in \mathcal{H} \text{ s.t. }\vert E_{\text{in}}(h)-E_{\text{out}}(h)\vert>\epsilon]\le 4 m_{\mathcal{H}}(2N)\exp{(-\dfrac{1}{8}\epsilon^2 N)}$P[∃h∈H s.t. ∣Ein​(h)−Eout​(h)∣>ϵ]≤4mH​(2N)exp(−81​ϵ2N)

定义VC维（VC dimension）$d_{\text{vc}}(\mathcal{H})$dvc​(H)为满足$m_{\mathcal{H}}(N)=2^N$mH​(N)=2N的最大的$N$N，也即$\mathcal{H}$H能打散的最大的点的个数，或最小的break point减1。当$N\ge2$N≥2且$d_{\text{vc}}\ge 2$dvc​≥2时，有$m_{\mathcal{H}}(N)\le N^{d_{\text{vc}}}$mH​(N)≤Ndvc​。

对于$d$d维感知机模型来说，有$d_{\text{vc}}=d+1$dvc​=d+1（证明略）。只要$d_{\text{vc}}$dvc​是有限的，就可以完成泛化。$d_{\text{vc}}(\mathcal{H})$dvc​(H)就相当于是$\mathcal{H}$H的powerfulness。

2.4 VC Bound与模型复杂度惩罚

对于$g=\mathcal{A}(\mathcal{D})\in \mathcal{H}$g=A(D)∈H，如果$\mathcal{D}$D在统计上足够大，有
$\mathbb{P}[\vert E_{\text{in}}(g)-E_{\text{out}}(g)\vert>\epsilon]\le 4 (2N)^{d_{\text{vc}}} \exp{(-\dfrac{1}{8}\epsilon^2 N)}$P[∣Ein​(g)−Eout​(g)∣>ϵ]≤4(2N)dvc​exp(−81​ϵ2N)

不等式左侧表示“坏的”的几率。若将不等式右边记为$\delta$δ，可将$\epsilon$ϵ反表示为$\epsilon=\sqrt{\dfrac{8}{N}\ln{\dfrac{4(2N)^{d_{\text{vc}}}}{\delta}}}=\Omega(N,\mathcal{H},\delta)$ϵ=N8​lnδ4(2N)dvc​​​=Ω(N,H,δ)，$\Omega(N,\mathcal{H},\delta)$Ω(N,H,δ)就代表了对模型复杂度的惩罚。

可以看出，至少有$1-\delta$1−δ的概率，能满足
$E_{\text{out}}(g)\le E_{\text{in}}(g)+\Omega(N,\mathcal{H},\delta)$Eout​(g)≤Ein​(g)+Ω(N,H,δ)

$d_{\text{vc}}$dvc​和error的关系如下图：

要找到最优的$d_{\text{vc}}$dvc​，才能使error最小。

VC Bound只是一个非常宽松的理论界限。比如设定$\epsilon=0.1$ϵ=0.1，$\delta=0.1$δ=0.1，$d_{\text{vc}}=3$dvc​=3，那么根据前式，可得到$N\approx 10,000 d_{\text{vc}}$N≈10,000dvc​，但在实践中，往往只需要$N\approx 10 d_{\text{vc}}$N≈10dvc​的数据量就够了。

2.5 有噪声时的VC Bound

如果标签被打错了，或是同一个人被打了不同标签，又或是$\mathbf{x}$x的信息不准确，都会引入噪声。在有噪声时，VC Bound依旧有效吗？

回到之前小球的例子，之前的小球，每个小球的颜色都是确定的，这种情况叫做是“deterministic”的，在有噪声的情况中，可以认为每个小球的颜色服从某种概率，即$y\sim P(y|\mathbf{x})$y∼P(y∣x)，这叫做是“probabilistic”的。可以证明如果$(\mathbf{x},y)\mathop{\sim}^{i.i.d.}P(\mathbf{x},y)$(x,y)∼i.i.d.P(x,y)，那么VC理论依旧是有效的。

有噪声时，学习的目标是在常见的样本$P(\mathbf{x})$P(x)上，学习$P(y|\mathbf{x})$P(y∣x)。新的学习流程如下：

VC理论依旧有效，pocket算法就是个很好的例子。

3 误差度量

在这里介绍一种逐点的误差度量（pointwise error measure），可以表达成$\text{err}(g(\mathbf{x}), f(\mathbf{x}))$err(g(x),f(x))，$g(\mathbf{x})$g(x)可记为$\tilde{y}$y~​，$f(\mathbf{x})$f(x)可记为y。

有两种比较重要的pointwise error measure：

• $\text{err}(\tilde{y}, y)=\mathbb{1}_{[\tilde{y} \ne y]}$err(y~​,y)=1[y~​​=y]​，这一般用在分类问题中；
• $\text{err}(\tilde{y}, y)=(\tilde{y} - y)^2$err(y~​,y)=(y~​−y)2，这一般用在回归问题中。

在有了误差度量后，学习流程如下：

在分类问题中，错误可分为两类，如下图所示：

根据这两类错误的重要性不同，可以对它们赋予不同的权重。因此，不同的应用可以有不同的$\text{err}$err。在算法中考虑误差度量时（记用在算法中的错误度量为$\widehat{\text{err}}$err），最好的情况当然是直接令$\widehat{\text{err}}=\text{err}$err=err，但这可能会导致很难计算，比如会带来NP-hard问题等，一般来说，最好要设计一个对于$\mathcal{A}$A来说能比较容易进行最优化的$\widehat{\text{err}}$err，最好要有闭式解（closed-form solution）或有凸的目标函数。

在$\mathcal{A}$A中加入误差度量的设计后，学习流程如下：

对于两类错误权重不同的情况，可以用“virtual copying”的策略去学习。以pocket算法为例，假设false reject错误的权重为1，false accept错误的权重为1000，在计算时不必真的对每个样本点赋予权重，可以“虚拟地”将$y=-1$y=−1的点复制1000份。在实践中，也不必真的复制，可以在随机选择样本点时，让算法随机选出$y=-1$y=−1的点的概率增大1000倍即可。