柔性臂是当前机器人领域一个比较热的研究方向，国内外高校如MIT、Stanford、JHU和我校、上交、中科大、北航等等都有做研究。大致可以分为三类：气驱/绳驱，超弹性材料，智能材料（DE/EAP/SMA）。大多也集中在仿生方面的研究，比如象鼻型、章鱼臂型等等，属于机械/生物/计算机/电子/控制（强行加上我们控制）的交叉领域。
建立这类气驱型柔性臂的模型具有一定复杂性，因为要完整精确地描述横向/纵向肌肉的运动和相互影响的机理，不过这论文都是十多年前的了，现在嘛。。。。。。
完整地描述肌纤维的运动及对其他肌纤维的影响，理想。。理想。。。一种oft model是把章鱼臂看作一系列定容圆柱，每个圆柱能变直径变长度；另一种是看作一系列的腔管，能在两个方向上弯曲。
把整个柔性臂分解成一系列变直径的部分首尾连接起来。这种模型描述运动机理效果比较好。具体地说，也是看作一系列定容圆柱，通过对生物肌肉实际测量得到一些参数，能够很好地预测章鱼臂在一次捕食行为中肌肉的动作，但是这种模型，按照原文说，主要描述了单关节臂杆的行为，而不是整个完整机械臂的功能。（有一点点懵逼，论文也没细讲）
在一定的假设条件下，能更好地阐述章鱼臂的运动机理，也是实际应用最多的一种。假设机械臂以恒定曲率弯曲且不能扭转（这假设下当然更容易分析了。。）当然好处也很明显，可以化简为一系列旋转关节和位移关节，直接用DH参数法，经典的机器人控制理论和算法也可以套用。Clemson University的Elephant Trunk manipulator和Air-Octor single manipulator的分析都是基于这种模型。
这个柔性臂由中间的软管和外部保护软管以及三个驱动的绳索组成。然后三个弯曲自由度，一个收缩自由度，也就是四自由度的柔性臂。ϕ \phi ϕ k ϕ k_{\phi} k ϕ l 1 l_1 l 1 l 2 l_2 l 2 l 3 l_3 l 3 r i r_i r i ϕ \phi ϕ k ϕ k_{\phi} k ϕ
r i r_i r i
r i r_i r i h 1 = 0 h_1 = 0 h 1 = 0 h 2 = l 2 − l 1 2 n h_2 = \cfrac{l_2 - l_1}{2n} h 2 = 2 n l 2 − l 1 h 3 = l 3 − l 1 2 n h_3 = \cfrac{l_3 - l_1}{2n} h 3 = 2 n l 3 − l 1 h 1 h_1 h 1 h 2 h_2 h 2 h 3 h_3 h 3 h c h_c h c h c h_c h c h 2 m h_{2m} h 2 m h 3 m h_{3m} h 3 m h 2 m h_{2m} h 2 m h 3 m h_{3m} h 3 m h 2 m = l 2 − l 1 3 n h_{2m} = \cfrac{l_2 - l_1}{3n} h 2 m = 3 n l 2 − l 1 h 3 m = l 3 − l 1 3 n h_{3m} = \cfrac{l_3 - l_1}{3n} h 3 m = 3 n l 3 − l 1 h c h_c h c h c = l 3 + l 2 − 2 l 1 6 n h_{c} = \cfrac{l_3 +l_2 - 2l_1}{6n} h c = 6 n l 3 + l 2 − 2 l 1 d h c = r 1 h c + l 1 2 n \cfrac{d}{h_c} = \cfrac{r_1}{h_c + \cfrac{l_1}{2n}} h c d = h c + 2 n l 1 r 1
这样就可以推出r1：
r 1 = d ( l 1 + l 2 + l 3 ) l 3 + l 2 − 2 l 1 r_1 = \cfrac{d(l_1 + l_2 + l_3)}{l_3 + l_2 - 2l_1} r 1 = l 3 + l 2 − 2 l 1 d ( l 1 + l 2 + l 3 )
那么r 2 r_2 r 2 r 3 r_3 r 3
d r 2 = h c − h 2 l 1 2 n + h c \cfrac{d}{r_2} = \cfrac{h_c - h_2}{\cfrac{l_1}{2n} + h_c} r 2 d = 2 n l 1 + h c h c − h 2
d r 3 = h 3 − h c l 1 2 n + h c \cfrac{d}{r_3} = \cfrac{h_3 - h_c}{\cfrac{l_1}{2n} + h_c} r 3 d = 2 n l 1 + h c h 3 − h c
整理后可得
r 2 = d ( l 1 + l 2 + l 3 ) l 3 + l 1 − 2 l 2 r_2 = \cfrac{d(l_1 + l_2 + l_3)}{l_3 + l_1 - 2l_2} r 2 = l 3 + l 1 − 2 l 2 d ( l 1 + l 2 + l 3 )
r 3 = d ( l 1 + l 2 + l 3 ) l 1 + l 2 − 2 l 3 r_3 = \cfrac{d(l_1 + l_2 + l_3)}{l_1 + l_2 - 2l_3} r 3 = l 1 + l 2 − 2 l 3 d ( l 1 + l 2 + l 3 )
ϕ \phi ϕ k ϕ k_{\phi} k ϕ
r 1 r_1 r 1 r 2 r_2 r 2 r 3 r_3 r 3 r 1 = r 1 ∠ 9 0 ο \mathrm{r_1} = r_1\angle{90^\omicron} r 1 = r 1 ∠ 9 0 ο r 2 = r 2 ∠ 21 0 ο \mathrm{r_2} = r_2\angle{210^\omicron} r 2 = r 2 ∠ 2 1 0 ο r 3 = r 3 ∠ − 3 0 ο \mathrm{r_3} = r_3\angle{-30^\omicron} r 3 = r 3 ∠ − 3 0 ο B B B r y r_y r y r y r_y r y
B = [ cos ( 21 0 ο ) sin ( 21 0 ο ) cos ( − 30 ο ) sin ( − 30 ο ) ] B = \begin{bmatrix}
\cos{(210^\omicron)} & \sin{(210^\omicron)} \\
\cos{({-30}^\omicron)} & \sin{({-30}^\omicron)} \\
\end{bmatrix} B = [ cos ( 2 1 0 ο ) cos ( − 3 0 ο ) sin ( 2 1 0 ο ) sin ( − 3 0 ο ) ]
r x = r 3 − r 2 3 r_x = \cfrac{r_3 - r_2}{\sqrt{3}} r x = 3 r 3 − r 2
r y = − r 2 − r 3 r_y = -r_2 -r_3 r y = − r 2 − r 3
然后我们就可以得到 （其实这部分不明白为什么这样就得到了 ϕ \phi ϕ
ϕ = tan − 1 ( r y r x ) \phi = \tan^{-1}\left(\cfrac{r_y}{r_x}\right) ϕ = tan − 1 ( r x r y )
r ϕ = r x 2 + r y 2 r_\phi = \sqrt{{r_x}^2 + {r_y}^2} r ϕ = r x 2 + r y 2 k ϕ = 1 r ϕ k_\phi = \cfrac{1}{r_\phi} k ϕ = r ϕ 1
最后整理消除中间变量得到
k ϕ = 2 l 1 2 + l 2 2 + l 3 2 − l 1 l 2 − l 2 l 3 − l 1 l 1 d ( l 1 + l 2 + l 3 ) k_\phi = 2\cfrac{\sqrt{{l_1}^2 + {l_2}^2 + {l_3}^2 -l_1l_2 - l_2l_3 -l_1l_1}}{d\left(l_1 + l_2 + l_3\right)} k ϕ = 2 d ( l 1 + l 2 + l 3 ) l 1 2 + l 2 2 + l 3 2 − l 1 l 2 − l 2 l 3 − l 1 l 1
ϕ = tan − 1 ( 3 3 l 3 + l 2 − 2 l 1 l 2 − l 3 ) \phi = \tan^{-1}\left(\cfrac{\sqrt3}{3}\cfrac{l_3 + l_2 - 2l_1}{l_2 - l_3}\right) ϕ = tan − 1 ( 3 3 l 2 − l 3 l 3 + l 2 − 2 l 1 )
s s s
最后我们再求出柔性臂的长度，因为前面我们是分成了n份来分析的。
l c = l 1 + l 2 + l 3 3 l_c = \cfrac{l_1 + l_2 + l_3}{3} l c = 3 l 1 + l 2 + l 3
sin β 2 = l c 2 n 1 k ϕ \sin\cfrac{\beta}{2} = \cfrac{\cfrac{l_c}{2n}}{\cfrac{1}{k_\phi}} sin 2 β = k ϕ 1 2 n l c
解得
s = 2 n k ϕ sin − 1 ( l c k ϕ 2 n ) s = \cfrac{2n}{k_\phi}\sin^{-1}\left(\cfrac{l_ck_\phi}{2n}\right) s = k ϕ 2 n sin − 1 ( 2 n l c k ϕ )
最后整理消除中间变量得
s = n d ( l 1 + l 2 + l 3 ) l 1 2 + l 2 2 + l 3 2 − l 1 l 2 − l 2 l 3 − l 1 l 3 ⋅ sin − 1 ( l 1 2 + l 2 2 + l 3 2 − l 1 l 2 − l 2 l 3 − l 1 l 3 3 n d ) s = \cfrac{nd(l_1 + l_2 + l_3)}{\sqrt{{l_1}^2 +{l_2}^2 + {l_3}^2 - l_1l_2 - l_2l_3 - l_1l_3}} \cdot \sin^{-1}\left( \cfrac{\sqrt{{l_1}^2 +{l_2}^2 + {l_3}^2 - l_1l_2 - l_2l_3 - l_1l_3}}{3nd}\right) s = l 1 2 + l 2 2 + l 3 2 − l 1 l 2 − l 2 l 3 − l 1 l 3 n d ( l 1 + l 2 + l 3 ) ⋅ sin − 1 ( 3 n d l 1 2 + l 2 2 + l 3 2 − l 1 l 2 − l 2 l 3 − l 1 l 3 )
定义 g : = l 1 2 + l 2 2 + l 3 2 − l 1 l 2 − l 2 l 3 − l 1 l 3 g := {l_1}^2 +{l_2}^2 + {l_3}^2 - l_1l_2 - l_2l_3 - l_1l_3 g : = l 1 2 + l 2 2 + l 3 2 − l 1 l 2 − l 2 l 3 − l 1 l 3
k ϕ = 2 g d ( l 1 + l 2 + l 3 ) k_\phi = 2\cfrac{\sqrt g}{d(l_1 + l_2 + l_3)} k ϕ = 2 d ( l 1 + l 2 + l 3 ) g
ϕ = tan − 1 ( 3 3 l 3 + l 2 − 2 l 1 l 2 − l 3 ) \phi = \tan^{-1}\left(\cfrac{\sqrt3}{3}\cfrac{l_3 + l_2 - 2l_1}{l_2 - l_3}\right) ϕ = tan − 1 ( 3 3 l 2 − l 3 l 3 + l 2 − 2 l 1 )
s = n d ( l 1 + l 2 + l 3 ) g ⋅ sin − 1 ( g 3 n d ) s = \cfrac{nd(l_1 + l_2 + l_3)}{\sqrt g} \cdot \sin^{-1}\left( \cfrac{\sqrt g}{3nd}\right) s = g n d ( l 1 + l 2 + l 3 ) ⋅ sin − 1 ( 3 n d g )
注意上式中lim g → 0 s = l 1 + l 2 + l 3 3 \lim\limits_{g \to 0}s = \cfrac{l_1 + l_2 + l_3}{3} g → 0 lim s = 3 l 1 + l 2 + l 3
以上就是一种气驱型柔性臂的逆运动学推导，其实可以看到所运用到的数学工具除了基变换矩阵那里以外，其他的基本上就是高中几何代数就可以解决的……所以说有些东西乍一看上去仿佛很艰深晦涩，可是钻研进去就会发现其实也并不很难，甚至还有点意思。
