Graphic Convolution Network(GCN)

1 定义

1.1输入

• 对于节点i的特征描述为xi,构成整个图的特征矩阵X ，N行D列，N为节点数，D为特征数
• 对于图的结构描述也为矩阵，一般为邻接矩阵A

1.2输出

• 输出结果为节点层次的矩阵Z，N行F列，F为每个节点的输出特征数
• 要输出图层次的结果则需引入一些池化操作，见Duvenaud et al.

1.3神经网络

• 神经网络的每一层都可以写作如下非线性函数，其中， L为神经网络层数，模型差别就在于函数f（）上

                                             

2 简单示例

令神经网络层的前向传播函数为

                               

其中，为第层网络的权重矩阵，为**函数，如ReLu**器，这个模型很简单，但是很有用。但这个模型也有2个缺陷：

• 矩阵A直接相乘意味着对于每一个节点，我们将全部节点的全部特征都提取出来，而并非关注的这个节点本身（除非图中有自环出现）。我们可以通过向图中添加自环来解决这个问题，即将A矩阵和I矩阵直接相加。
• 矩阵A并未标准化，A经过矩阵乘法后，会彻底改变特征矩阵的数量级，可以通过标准化矩阵解决这个问题，即，D为A的对角矩阵，使每一列的和为1。

如果是非对称矩阵，结果会更有意思，把上面两种技巧结合起来，就是Kipf & Welling （ICLR,2017）所用的前向传播函数

                                          

其中，是的对角矩阵

3 模型应用（ZACHARY问题）

           Karate club graph, colors denote communities obtained via modularity-based clustering (Brandes et al., 2008).

 

ZACHARY空手道俱乐部是ZACHARY对美国一个空手道俱乐部长期观测构建的一个社交网络，常用于复杂网络社团结构的分析，测试聚类算法的划分精度。其中，节点为俱乐部成员，边代表成员之间的关系（联系密切的成员之间才有边），共有34个节点，78条边。该俱乐部关于在是否提高俱乐部收费问题上产生了分析，最终分裂成为以俱乐部主管和俱乐部教练为中心的两个团体，分别为节点1和节点34。

我们用上述模型对ZACHARY问题进行聚类分析，网络一共有3层，每层的权重随机分配，输入邻接矩阵和特征矩阵X=I（因为我们对于这些节点的特征一无所知，只知道节点之间的关系）。在随机分配参数，没有训练的情况下，模型的输入结果已经和上图很接近了，如下图所示。

                                         GCN embedding (with random weights) for nodes in the karate club network​​​​

 

 

4 半监督学习

用半监督学习算法对每一类中的一个节点打上标签，然后开始训练若干步，结果如下所示：

Semi-supervised classification with GCNs: Latent space dynamics for 300 training iterations with a single label per class. Labeled nodes are highlighted.

模型自动在二维空间生成可视化图像。三层的GCN在每一类只有一个标签节点的情况下，成功划分了社区团体。本模型没有考虑节点的特征。