2020.03.07日常总结

$\color{green}{\text{洛谷P1107\ \ \ \ \ [BJWC2008]雷涛的小猫}}$洛谷P1107     [BJWC2008]雷涛的小猫

$\color{blue}{【题意】：}$【题意】： 雷涛同学非常的有爱心，在他的宿舍里，养着一只因为受伤被救助的小猫（当然，这样的行为是违反学生宿舍管理条例的）。在他的照顾下，小猫很快恢复了健康，并且愈发的活泼可爱了。

可是有一天，雷涛下课回到寝室，却发现小猫不见了！经过一番寻找，才发现她正趴在阳台上对窗外的柿子树发呆……

在北京大学的校园里，有许多柿子树，在雷涛所在的宿舍楼前，就有 $N$N 棵。并且这 $N$N 棵柿子树每棵的高度都是 $H$H。冬天的寒冷渐渐笼罩了大地，树上的叶子渐渐掉光了，只剩下一个个黄澄澄的柿子，看着非常喜人。而雷涛的小猫恰好非常的爱吃柿子，看着窗外树上的柿子，她十分眼馋，于是决定利用自己敏捷的跳跃能力跳到树上去吃柿子。

小猫可以从宿舍的阳台上跳到窗外任意一棵柿子树的树顶。之后，她每次都可以在当前位置沿着当前所在的柿子树向下跳 $1$1 单位距离。当然，小猫的能力远不止如此，她还可以在树之间跳跃。每次她都可以从当前这棵树跳到另外的任意一棵，在这个过程中，她的高度会下降 $Delta$Delta 单位距离。每个时刻，只要她所在的位置有柿子，她就可以吃掉。整个吃柿子行动一直到小猫落到地面上为止。

雷涛调查了所有柿子树上柿子的生长情况。他很想知道，小猫从阳台出发，最多能吃到多少柿子？他知道写一个程序可以很容易的解决这个问题，但是他现在懒于写任何代码。于是，现在你的任务就是帮助雷涛写一个这样的程序。

图为 $N=3,H=10,Delta=2$N=3,H=10,Delta=2 的一个例子。小猫按照图示路线进行跳跃，可以吃到最多的 $8$8 个柿子。

$\color{blue}{【思路】：}$【思路】： 首先看一个 $O(n^2 \times h)$O(n2×h) 的算法，即记 $f_{i,j}$fi,j​ 表示当前在第 $i$i 棵树，$j$j 的高度时的答案。我们有转移方程：

$f_{i,j}=\max \left \{ \begin{matrix} &f_{i,j+1}\\ &f_{k,j+Delta}(1 \leq k \leq n, k\neq i) \end{matrix} \right.$fi,j​=max{​fi,j+1​fk,j+Delta​(1≤k≤n,k​=i)​

当然，这是不能过这道题的，需要优化。我们发现性能瓶颈都在 $k$k 的枚举上，如果我们能把它省略掉，那就可以 $O(n \times h)$O(n×h) 完成此题。

我们发现对相同的 $j$j，因为我们的猫可以随意从一棵树跳到另一棵树，所以我们需要的 $i$i 是一定的，即我们可以记 $d_j=\max \{f_{i,j} \}(1 \leq i \leq n)$dj​=max{fi,j​}(1≤i≤n)，转移的第 $2$2 条就可以写成：

$f_{i,j}=d_{j+Delta}$fi,j​=dj+Delta​

有个问题，那不会出现调用 $f_{i,j}=f_{i,j+Delta}$fi,j​=fi,j+Delta​ 吗，不会，因为对于相同的 $i$i，越小的 $j$j 肯定 $f_{i,j}$fi,j​ 越大（至少不会更少），所以 $f_{i,j+Delta}$fi,j+Delta​ 没有 $f_{i,j+1}$fi,j+1​ 优。

$\color{blue}{【代码】：}$【代码】：