统计量及其抽样分布

1 统计量

1.1 统计量的概念

设$X_{1},X_{2},...X_{n}$X1​,X2​,...Xn​ 是从总体$X$X 中抽取的容量为$n$n 的一个样本，如果有此样本构造一个函数$T(X_{1},X_{2},...X_{n})$T(X1​,X2​,...Xn​)，不依赖于任何未知参数，则称函数$T(X_{1},X_{2},...X_{n})$T(X1​,X2​,...Xn​)是一个统计量

统计量是样本的一个函数。由样本构造具体的统计量，实际上是对样本所含的总体信息按某种邀请进行加工处理，把分散的样本中的信息集中到统计量的取值上。

1.2 常用统计量

• 样本均值，反映总体$X$X的数学期望的信息。
• 样本方差，反映总体$X$X方差的信息
• 样本变异系数
  …

2 由正态分布导出的几个重要分布

2.1抽样分布

在总体$X$X 的分布类型已知时，若对任一自然数$n$n都能推导出统计量$T=T(X_{1},X_{2},...X_{n})$T=T(X1​,X2​,...Xn​) 的分布的数学表达式，这种分布称为精确的抽样分布。

2.2 $X^2$X2 分布

2.3 $t$t 分布

2.4 $F$F 分布

3 样本均值的分布与中心极限定理

当总体分布为正态分布$N(\mu,\sigma^2)$N(μ,σ2)时， $\overline{X}$X的抽样分布仍为正态分布， $\overline{X}$X的数学期望为$ \mu $,方差为$,方差为\sigma^2/n$ 则

在实际的问题中，总体的分布并不总是正态分布或近似正态分布，此时$\overline{X}$X的分布取决于总体分布的情况。值得庆幸的是，当抽样个数 $n$n 比较大的时候，无论总体是什么分布，样本均值$\overline{X}$X的分布总是近似正态分布，只要总体的方差有限。

中心极限定理：设从均值为$\mu$μ、方差为$\sigma^2$σ2（有限）的任意一个总体中抽取样本量为 $n$n 的样本，当$n$n充分大时，样本均值 $\overline{X} $的抽样分布近似服从均值为$的抽样分布近似服从均值为\mu$，方差为$，方差为\sigma^2/n$的正态分布。

中心极限定理邀请$n$n 必须充分大，总体偏离正态越远，要求$n$n 越大。常要求$n\geq30$n≥30。大样本，小样本之间不是以样本量大小来区分。在样本量固定的条件下所进行的统计推断，问题分析，不管样本量有多大，都称为小样本问题；在样本量无限大的条件下进行的统计推断，问题分析称为大样本问题。$n\geq30$n≥30 为一种经验说法。

参考资料：贾俊平《统计学》第七版第六章