捷联惯导系统学习3.3(球谐函数的基本概念(未完成))

拉普拉斯方程

参数说明：
θ \theta θ:余纬（也称极矩）
λ \lambda λ:经度
r r r：半径
从上图可以得到直角坐标系 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)到 ( r , θ , λ ) (r,\theta,\lambda) (r,θ,λ)的坐标转换如下:
{ x = r s i n θ c o s λ y = r s i n θ s i n λ z = r c o s θ \begin{cases} x=rsin\theta cos \lambda \\ y=rsin\theta sin \lambda\\ z=rcos\theta \\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​x=rsinθcosλy=rsinθsinλz=rcosθ​
如果三元函数 u ( x , y , z ) u(x,y,z) u(x,y,z)在空间 Ω \Omega Ω的偏微分满足如下条件
:则u为球谐函数/调和函数
∇ u = ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 = 0 ( 拉 普 拉 斯 方 程 ) \nabla u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0(拉普拉斯方程) ∇u=∂x2∂2u​+∂y2∂2u​+∂z2∂2u​=0(拉普拉斯方程)
拉普拉斯方程球体坐标系下的表示
∇ = 1 r 2 [ ∂ ∂ r ( r 2 ∂ ∂ r ) + 1 s i n θ ∂ ∂ θ ( s i n θ ∂ ∂ θ ) + 1 s i n 2 θ ∂ 2 ∂ λ 2 ] u = 0 ( 拉 普 拉 斯 方 程 ) \nabla=\cfrac1{r^2}[\cfrac\partial{\partial r}({r^2\frac{\partial }{\partial r})}+\frac{1}{sin\theta}\cfrac\partial{\partial \theta}({sin\theta\frac{\partial }{\partial \theta})}+\frac{1}{sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\lambda^2}]u=0(拉普拉斯方程) ∇=r21​[∂r∂​(r2∂r∂​)+sinθ1​∂θ∂​(sinθ∂θ∂​)+sin2θ1​∂λ2∂2​]u=0(拉普拉斯方程)
拉普拉斯算子
∇ = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 = 0 ( 拉 普 拉 斯 算 子 ) \nabla=\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2 }{\partial z^2}=0(拉普拉斯算子) ∇=∂x2∂2​+∂y2∂2​+∂z2∂2​=0(拉普拉斯算子)
拉普拉斯算子球体坐标系下的表示
∇ = 1 r 2 [ ∂ ∂ r ( r 2 ∂ ∂ r ) + 1 s i n θ ∂ ∂ θ ( s i n θ ∂ ∂ θ ) + 1 s i n 2 θ ∂ 2 ∂ λ 2 ] ( 拉 普 拉 斯 算 子 ) \nabla=\cfrac1{r^2}[\cfrac\partial{\partial r}({r^2\frac{\partial }{\partial r})}+\frac{1}{sin\theta}\cfrac\partial{\partial \theta}({sin\theta\frac{\partial }{\partial \theta})}+\frac{1}{sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\lambda^2}](拉普拉斯算子) ∇=r21​[∂r∂​(r2∂r∂​)+sinθ1​∂θ∂​(sinθ∂θ∂​)+sin2θ1​∂λ2∂2​](拉普拉斯算子)

球坐标下的拉普拉斯方程求解

假设使用分离变量法求得拉普拉斯方程解为： u ( r , θ , λ ) = R ( r ) Y ( θ , λ ) u(r,\theta,\lambda)=R(r)Y(\theta,\lambda) u(r,θ,λ)=R(r)Y(θ,λ)
带入原方程得到：
∇ = Y r 2 [ ∂ ∂ r ( r 2 ∂ R ∂ r ) + R s i n θ ∂ ∂ θ ( s i n θ ∂ Y ∂ θ ) + R s i n 2 θ ∂ 2 Y ∂ λ 2 ] u = 0 \nabla=\cfrac Y{r^2}[\cfrac{\partial }{\partial r}({r^2\frac{\partial R}{\partial r})}+\frac{R}{sin\theta}\cfrac\partial{\partial \theta}({sin\theta\frac{\partial Y}{\partial \theta})}+\frac{R}{sin^2\theta}\frac{\partial^2 Y}{\partial\lambda^2}]u=0 ∇=r2Y​[∂r∂​(r2∂r∂R​)+sinθR​∂θ∂​(sinθ∂θ∂Y​)+sin2θR​∂λ2∂2Y​]u=0
两边同乘以 r 2 R Y \frac{r^2}{RY} RYr2​
得到 1 R ∂ ∂ r ( r 2 ∂ R ∂ r ) = − 1 Y s i n θ ∂ ∂ θ ( s i n θ ∂ Y ∂ θ ) − 1 Y s i n 2 θ ∂ 2 Y ∂ λ 2 \frac{1}{R}\cfrac{\partial }{\partial r}({r^2\frac{\partial R}{\partial r})}=-\frac{1}{Ysin\theta}\cfrac\partial{\partial \theta}({sin\theta\frac{\partial Y}{\partial \theta})}-\frac{1}{Ysin^2\theta}\frac{\partial^2 Y}{\partial\lambda^2} R1​∂r∂​(r2∂r∂R​)=−Ysinθ1​∂θ∂​(sinθ∂θ∂Y​)−Ysin2θ1​∂λ2∂2Y​
左右两个式子相等，意味两个式子等于一个值，即（n（n+1）表示任意值，实际上n常用整数）：
1 R ∂ ∂ r ( r 2 ∂ R ∂ r ) = n ( n + 1 ) ( 公 式 1 ) \frac{1}{R}\cfrac{\partial }{\partial r}({r^2\frac{\partial R}{\partial r})}=n(n+1) (公式1) R1​∂r∂​(r2∂r∂R​)=n(n+1)(公式1)
− 1 Y s i n θ ∂ ∂ θ ( s i n θ ∂ Y ∂ θ ) − 1 Y s i n 2 θ ∂ 2 Y ∂ λ 2 = n ( n + 1 ) ( 公 式 2 ) -\frac{1}{Ysin\theta}\cfrac\partial{\partial \theta}({sin\theta\frac{\partial Y}{\partial \theta})}-\frac{1}{Ysin^2\theta}\frac{\partial^2 Y}{\partial\lambda^2}=n(n+1) (公式2) −Ysinθ1​∂θ∂​(sinθ∂θ∂Y​)−Ysin2θ1​∂λ2∂2Y​=n(n+1)(公式2)
求解公式1:将公式（1）转化为1元2次方程,如下即可求解
r 2 d 2 R d r 2 + 2 r d R n d r − n ( n + 1 ) R n = 0 ( 公 式 1 ) r^2\frac{d^2R}{dr^2}+2r\frac{dR_n}{dr}-n(n+1)R_n=0 (公式1) r2dr2d2R​+2rdrdRn​​−n(n+1)Rn​=0(公式1)
求解公式2
将公式2，进一步展开，并乘以 Y n Y_n Yn​移项可得：
∂ 2 Y n ∂ θ 2 + c o t θ ∂ Y n ∂ θ + 1 s i n 2 θ ∂ 2 Y n ∂ λ 2 + n ( n + 1 ) Y n = 0 \frac{\partial^2Y_n}{\partial\theta^2}+cot\theta\frac{\partial Y_n}{\partial\theta}+\frac{1}{sin^2\theta}\frac{\partial^2Y_n}{\partial\lambda^2}+n(n+1)Y_n=0 ∂θ2∂2Yn​​+cotθ∂θ∂Yn​​+sin2θ1​∂λ2∂2Yn​​+n(n+1)Yn​=0
采用分离变量法进一步分离，令 Y n ( θ , λ ) = ∧ n ( λ ) Θ ( θ ) Y_n(\theta,\lambda)=\wedge_n(\lambda)\Theta(\theta) Yn​(θ,λ)=∧n​(λ)Θ(θ)
带入方程，得到：
∧ n ( λ ) ∂ 2 Θ ( θ ) ∂ θ 2 + ∧ n c o t θ ∂ Θ ( θ ) ∂ θ + Θ ( θ ) s i n 2 θ ∂ 2 ∧ n ∂ λ 2 + n ( n + 1 ) ∧ n ( λ ) Θ ( θ ) = 0 \wedge_n(\lambda)\frac{\partial^2\Theta(\theta)}{\partial\theta^2}+\wedge_ncot\theta\frac{\partial \Theta(\theta)}{\partial\theta}+\frac{\Theta(\theta)}{sin^2\theta}\frac{\partial^2\wedge_n}{\partial\lambda^2}+n(n+1)\wedge_n(\lambda)\Theta(\theta)=0 ∧n​(λ)∂θ2∂2Θ(θ)​+∧n​cotθ∂θ∂Θ(θ)​+sin2θΘ(θ)​∂λ2∂2∧n​​+n(n+1)∧n​(λ)Θ(θ)=0
乘以 s i n 2 θ ∧ n Θ \frac{sin^2\theta}{\wedge_n\Theta} ∧n​Θsin2θ​得到：
− 1 ∧ n ∂ 2 ∧ n ∂ λ 2 = s i n 2 θ Θ [ ∂ 2 Θ ( θ ) ∂ θ 2 + c o t θ ∂ Θ ( θ ) ∂ θ + n ( n + 1 ) ∧ n ] -\frac{1}{\wedge_n}\frac{\partial^2\wedge_n}{\partial\lambda^2}=\frac{sin^2\theta}{\Theta}[\frac{\partial^2\Theta(\theta)}{\partial\theta^2}+cot\theta\frac{\partial \Theta(\theta)}{\partial\theta}+n(n+1)\wedge_n] −∧n​1​∂λ2∂2∧n​​=Θsin2θ​[∂θ2∂2Θ(θ)​+cotθ∂θ∂Θ(θ)​+n(n+1)∧n​]
同理有公式（2）得到公式（3）（4）：
− 1 ∧ n ∂ 2 ∧ n ∂ λ 2 = l （ 公 式 3 ） -\frac{1}{\wedge_n}\frac{\partial^2\wedge_n}{\partial\lambda^2}=l （公式3） −∧n​1​∂λ2∂2∧n​​=l（公式3）
s i n 2 θ Θ [ ∂ 2 Θ ( θ ) ∂ θ 2 + c o t θ ∂ Θ ( θ ) ∂ θ + n ( n + 1 ) ∧ n ] = l （ 公 式 4 ） \frac{sin^2\theta}{\Theta}[\frac{\partial^2\Theta(\theta)}{\partial\theta^2}+cot\theta\frac{\partial \Theta(\theta)}{\partial\theta}+n(n+1)\wedge_n]=l （公式4） Θsin2θ​[∂θ2∂2Θ(θ)​+cotθ∂θ∂Θ(θ)​+n(n+1)∧n​]=l（公式4）
求解公式3
经度 λ ∈ [ 0 , 2 π ] \lambda\in[0,2\pi] λ∈[0,2π]所以 ∧ n ( λ ) = ∧ n ( 2 π + λ ) \wedge_n(\lambda)=\wedge_n(2\pi+\lambda) ∧n​(λ)=∧n​(2π+λ),所以 l = m 2 ( m = 0 , 1 , 2 , . . ) l=m^2(m=0,1,2,..) l=m2(m=0,1,2,..)
∧ n m ( λ ) = C n m c o s m λ + S n m s i n m λ ( C n m , S n m 为 任 意 常 系 数 ) \wedge_n^m(\lambda)=C_n^mcosm\lambda+S_n^msinm\lambda(C_n^m,S_n^m为任意常系数) ∧nm​(λ)=Cnm​cosmλ+Snm​sinmλ(Cnm​,Snm​为任意常系数)
求解公式4
l = m 2 ( m = 0 , 1 , 2 , . . ) l=m^2(m=0,1,2,..) l=m2(m=0,1,2,..)
d Θ n m d θ = − s i n θ d Θ n m d x \frac{d\Theta_n^m}{d\theta}=-sin\theta\frac{d\Theta_n^m}{dx} dθdΘnm​​=−sinθdxdΘnm​​
d 2 Θ n m d θ 2 = − c o s θ d Θ n m d x + s i n 2 d 2 Θ n m d x 2 \frac{d^2\Theta_n^m}{d\theta^2}=-cos\theta\frac{d\Theta_n^m}{dx}+sin^2\frac{d^2\Theta_n^m}{dx^2} dθ2d2Θnm​​=−cosθdxdΘnm​​+sin2dx2d2Θnm​​
Θ n m ( θ ) = y ( x ) \Theta_n^m(\theta)=y(x) Θnm​(θ)=y(x)
带入公式4,化简得到:连带勒让德方程(associated Legendre equation)
( 1 − x 2 ) d 2 y d x 2 − 2 f r a c d y d x + [ n ( n + 1 ) − m 2 1 − x 2 ] y = 0 (1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-2frac{dy}{dx}+[n(n+1)-\frac{m^2}{1-x^2}]y=0 (1−x2)dx2d2y​−2fracdydx+[n(n+1)−1−x2m2​]y=0
当 m = 0 m=0 m=0得到勒让德方程(associated Legendre equation)
( 1 − x 2 ) d 2 y d x 2 − 2 f r a c d y d x + n ( n + 1 ) y = 0 (1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-2frac{dy}{dx}+n(n+1)y=0 (1−x2)dx2d2y​−2fracdydx+n(n+1)y=0

勒让德方程求解

勒让德方程(associated Legendre equation)
( 1 − x 2 ) d 2 y d x 2 − 2 d y d x + n ( n + 1 ) y = 0 (1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-2\frac{dy}{dx}+n(n+1)y=0 (1−x2)dx2d2y​−2dxdy​+n(n+1)y=0
设勒让德方程的级数解为:
y ( x ) = x c ( a 0 + a 1 ∗ x + a 2 ∗ x 2 + a 3 ∗ x 3 + . . . ) = ∑ k = 0 ∞ a k x k + c y(x)=x^c(a_0+a_1*x+a_2*x^2+a_3*x^3+...)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^{k+c} y(x)=xc(a0​+a1​∗x+a2​∗x2+a3​∗x3+...)=k=0∑∞​ak​xk+c
将解、及其1、2导数，带入第一勒让德方程方程得到：
y ( x ) = C 1 P n ( x ) + C 2 Q n ( x ) y(x)=C_1P_n(x)+C_2Q_n(x) y(x)=C1​Pn​(x)+C2​Qn​(x)
C 1 , C 2 任 意 常 数 C_1,C_2任意常数 C1​,C2​任意常数
P n ( x ) 为 第 一 勒 让 德 多 项 式 , 在 区 间 [ − 1.1 ] 为 有 限 值 P_n(x)为第一勒让德多项式,在区间[-1.1]为有限值 Pn​(x)为第一勒让德多项式,在区间[−1.1]为有限值
Q n ( x ) 为 第 二 勒 让 德 多 项 式 , 在 区 间 [ − 1.1 ] 无 界 Q_n(x)为第二勒让德多项式,在区间[-1.1]无界 Qn​(x)为第二勒让德多项式,在区间[−1.1]无界
P n ( x ) = 1 2 n n ! d n ( x 2 − 1 ) n d x n ( 罗 德 里 格 表 示 ) P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n(x^2-1)^n}{dx^n}(罗德里格表示) Pn​(x)=2nn!1​dxndn(x2−1)n​(罗德里格表示)
展开 ( x 2 − 1 ) n (x^2-1)^n (x2−1)n递推,然后求n阶导可得
{ P 0 ( x ) = 1 n = 0 P 1 ( x ) = x n = 1 P n + 1 ( x ) = 1 n + 1 [ ( 2 n + 1 ) x P n ( x ) − n P n − 1 ( x ) ] n ≥ 0 \begin{cases} P_0(x)=1 &n=0 \\ P_1(x)=x&n=1 \\ P_{n+1}(x)=\frac{1}{n+1}[(2n+1)xP_n(x)-nP_{n-1}(x)] &n\geq0 \\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​P0​(x)=1P1​(x)=xPn+1​(x)=n+11​[(2n+1)xPn​(x)−nPn−1​(x)]​n=0n=1n≥0​
连带勒让德方程(associated Legendre equation)
勒让德方程对x微分 m 次 ( m ≤ n ) m次(m\leq n) m次(m≤n),并记 w = d m y d x m w=\frac{d^my}{dx^m} w=dxmdmy​,在令 z = ( 1 − x 2 ) m / 2 w z=(1-x^2)^{m/2}w z=(1−x2)m/2w,就得到连带勒让德方程，
( 1 − x 2 ) d 2 z d x 2 − 2 d z d x + [ n ( n + 1 ) − m 2 1 − x 2 ] z = 0 (1-x^2)\frac{d^2z}{dx^2}-2\frac{dz}{dx}+[n(n+1)-\frac{m^2}{1-x^2}]z=0 (1−x2)dx2d2z​−2dxdz​+[n(n+1)−1−x2m2​]z=0
连带勒让德方程的解:
z ( x ) = C 1 P n m ( x ) + C 2 Q n m ( x ) z(x)=C_1P^m_n(x)+C_2Q^m_n(x) z(x)=C1​Pnm​(x)+C2​Qnm​(x)
P n m ( x ) = ( 1 − x 2 ) m / 2 d m P n ( x ) d x m ， 第 一 勒 让 德 多 项 式 , 在 区 间 [ − 1.1 ] 为 有 限 值 P^m_n(x)=(1-x^2)^{m/2}\frac{d^mP_n(x)}{dx^m}，第一勒让德多项式,在区间[-1.1]为有限值 Pnm​(x)=(1−x2)m/2dxmdmPn​(x)​，第一勒让德多项式,在区间[−1.1]为有限值
Q n m ( x ) = ( 1 − x 2 ) m / 2 d m Q n ( x ) d x m ， 为 第 二 勒 让 德 多 项 式 , 在 区 间 [ − 1.1 ] 无 界 Q^m_n(x)=(1-x^2)^{m/2}\frac{d^mQ_n(x)}{dx^m}，为第二勒让德多项式,在区间[-1.1]无界 Qnm​(x)=(1−x2)m/2dxmdmQn​(x)​，为第二勒让德多项式,在区间[−1.1]无界
连带勒让德方程的递推公式
{ P n m ( x ) = { 1 n = m = 0 ( 2 n − 1 ) P n − 1 m − 1 ( x ) ( 1 − x 2 ) 1 2 m = n > 0 P n m ( x ) = ( 2 n − 1 ) x P n − 1 m − 1 ( x ) m = n − 1 P n m ( x ) = 1 n − m [ ( 2 n − 1 ) x P n − 1 m ( x ) − ( n + m − 1 ) P n − 2 m ( x ) ] m < n − 2 \begin{cases} P_n^m(x)= \begin{cases} 1&n=m=0 \\ (2n-1)P_{n-1}^{m-1}(x)(1-x^2)^{\frac{1}{2}}&m=n>0\\ \end{cases}\\ P_n^m(x)=(2n-1)xP_{n-1}^{m-1}(x)&m=n-1 \\ P_n^m(x)=\frac{1}{n-m}[(2n-1)xP_{n-1}^m(x)-(n+m-1)P^m_{n-2}(x)] &m<n-2\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​Pnm​(x)={1(2n−1)Pn−1m−1​(x)(1−x2)21​​n=m=0m=n>0​Pnm​(x)=(2n−1)xPn−1m−1​(x)Pnm​(x)=n−m1​[(2n−1)xPn−1m​(x)−(n+m−1)Pn−2m​(x)]​m=n−1m<n−2​
连带勒让德方程的求导公式
d P n m ( x ) d x = { − n x P n m ( x ) ( 1 − x 2 ) − 1 n = m [ − n x P n m ( x ) + ( n + m ) P n − 1 m ( x ) ] ( 1 − x 2 ) − 1 n > m \frac{dP_n^m(x)}{dx}=\begin{cases} -nxP_n^m(x)(1-x^2)^{-1}&n=m \\ [-nxP_n^m(x)+(n+m)P_{n-1}^m(x)](1-x^2)^{-1}&n>m\\ \end{cases} dxdPnm​(x)​={−nxPnm​(x)(1−x2)−1[−nxPnm​(x)+(n+m)Pn−1m​(x)](1−x2)−1​n=mn>m​
若存在某一点 m ( 非 负 整 数 ) m(非负整数) m(非负整数)第一勒让德多项式，在 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]是完备正交系
则有 ∫ − 1 1 P k m ( x ) P n m ( x ) d x = d P n m ( x ) d x = { 0 k ≠ n 2 ( n + m ) ! ( 2 n + 1 ) ( n − m ) ! \int_{-1}^1P_k^m(x)P_n^m(x)dx=\frac{dP_n^m(x)}{dx}=\begin{cases} 0&k\neq n \\ \frac{2(n+m)!}{(2n+1)(n-m)!}\\ \end{cases} ∫−11​Pkm​(x)Pnm​(x)dx=dxdPnm​(x)​={0(2n+1)(n−m)!2(n+m)!​​k​=n
若一元函数 f ( x ) , 在 [ − 1 , 1 ] 上 单 值 连 续 , f ( x ) 在 m ≠ 0 处 端 点 为 0 f(x),在[-1,1]上单值连续,f(x)在m\neq 0处端点为0 f(x),在[−1,1]上单值连续,f(x)在m​=0处端点为0
则f(x)可以勒让德多项式z展开即：
f ( x ) = ∑ n = m ∞ C n P n m ( x ) f(x)=\sum_{n=m}^{\infty}C_nP_n^m(x) f(x)=n=m∑∞​Cn​Pnm​(x)
C n = ( 2 n + 1 ) ( n − m ) ! 2 ( n + m ) ! ∫ − 1 1 f ( x ) P n m ( x ) d x C_n=\frac{(2n+1)(n-m)!}{2(n+m)!}\int_{-1}^1f(x)P_n^m(x)dx Cn​=2(n+m)!(2n+1)(n−m)!​∫−11​f(x)Pnm​(x)dx
P n m ( x ) P_n^m(x) Pnm​(x)具有如下特点
（1） 当 m = 0 , P n m ( x ) 在 端 点 m = ± 1 取 值 为 1 或 − 1 ; 当m=0,P_n^m(x)在端点m=\plusmn1取值为1或-1; 当m=0,Pnm​(x)在端点m=±1取值为1或−1;
（2） 当 m ≠ 0 , P n m ( x ) 在 端 点 m = ± 1 取 值 为 0 ; 当m\neq0,P_n^m(x)在端点m=\plusmn1取值为0; 当m​=0,Pnm​(x)在端点m=±1取值为0;
（3） 当 m + n , 为 偶 数 时 P n m ( x ) 为 偶 函 数 ， 否 则 为 奇 函 数 ; 当m+n,为偶数时P_n^m(x)为偶函数，否则为奇函数; 当m+n,为偶数时Pnm​(x)为偶函数，否则为奇函数;
（4） 当 开 区 间 ( − 1 , 1 ) 上 , P n m ( x ) 有 n − m 个 零 点 , 则 在 ( − 1 , 1 ) 区 间 内 P n 0 ( x ) 有 n 个 零 点 , P n n ( x ) 无 零 点 ; 当开区间(-1,1)上,P_n^m(x)有n-m个零点,则在(-1,1)区间内P_n^0(x)有n个零点,P_n^n(x)无零点; 当开区间(−1,1)上,Pnm​(x)有n−m个零点,则在(−1,1)区间内Pn0​(x)有n个零点,Pnn​(x)无零点;