关于Capon最优加权系数和MVDR加权系数等价的证明

首先给出Capon的功率谱，主要思想是最大化输出信噪比，即保证阵列对期望信号方向相应一定时，最小化输出功率，可以形成下面的优化问题
$\min _{\mathbf{w}} \mathbf{w}^{\mathbf{H}} \mathbf{R} \mathbf{w} \text { s.t. } \mathbf{w}^{\mathrm{H}} \mathbf{a}_{0}=1$wmin​wHRw s.t. wHa0​=1
为了求解上述优化问题，可以用拉格朗日乘数法进行计算，得到如下函数
$J(\mathbf{w}, \lambda)=\mathbf{w}^{\mathrm{H}} \mathbf{R} \mathbf{w}+\lambda\left(\mathbf{w}^{\mathrm{H}} \mathbf{a}_{0}-1\right)$J(w,λ)=wHRw+λ(wHa0​−1)
其中$\lambda\ge0$λ≥0为拉格朗日算子，对$\mathbf{w}^{*}$w∗求导，并令其等于零，有
$\mathbf{R} \mathbf{w}+\lambda \mathbf{a}_{0}=0$Rw+λa0​=0
可以得到解$\mathbf{w}=-\lambda \mathbf{R}^{-1} \mathbf{a}_{0}$w=−λR−1a0​，代替约束条件$\mathbf{w}^{\mathrm{H}}\mathbf{a}_{0}=1$wHa0​=1中，可以求得
$\lambda=-\frac{1}{\mathbf{a}_{0}^{\mathrm{H}} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{a}_{0}}$λ=−a0H​R−1a0​1​
因此，最优解为
$\mathbf{w}=\frac{\mathbf{R}^{-1} \mathbf{a}_{0}}{\mathbf{a}_{0}^{\mathrm{H}} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{a}_{0}}$w=a0H​R−1a0​R−1a0​​
上述过程就是标准的Capon波束形成（SCB），此时将最优解带入目标函数中，可以求得阵列的输出功率为
$P=\mathbf{w}^{\mathrm{H}} \mathbf{R} \mathbf{w}=\frac{1}{\mathbf{a}_{0}^{\mathrm{H}} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{a}_{0}}$P=wHRw=a0H​R−1a0​1​
该功率又被称为Capon功率，它是在无失真接收期望信号时，阵列输出的最小功率，当导向矢量进行变化时，上述功率会形成在空间上的功率分布情况，又被称为Capon功率谱。
同时我们考虑到$\mathbf{R}=\sigma_{\mathrm{s}}^{2} \mathbf{a}_{0} \mathbf{a}_{0}^{H}+\mathbf{R}_{\mathrm{i}+n}$R=σs2​a0​a0H​+Ri+n​，那么则有$\mathbf{w}^{\mathrm{H}} \mathbf{R} \mathbf{w}=\sigma_{\mathrm{s}}^{2} \mathbf{w}^{\mathrm{H}} \mathbf{a}_{0} \mathbf{a}_{0}^{\mathrm{H}} \mathbf{w}+\mathbf{w}^{\mathrm{H}} \mathbf{R}_{\mathrm{i}+\mathrm{n}} \mathbf{w}=\sigma_{\mathrm{s}}^{2}+\mathbf{w}^{\mathrm{H}} \mathbf{R}_{\mathrm{i}+\mathrm{n}} \mathbf{w}$wHRw=σs2​wHa0​a0H​w+wHRi+n​w=σs2​+wHRi+n​w，因此上述优化问题，可以等价为
$\min _{\mathbf{w}} \mathbf{w}^{\mathrm{H}} \mathbf{R}_{\mathrm{i}+\mathrm{n}} \mathbf{w} \text { s.t. } \mathbf{w}^{\mathrm{H}} \mathbf{a}_{0}=1$wmin​wHRi+n​w s.t. wHa0​=1
该优化问题的物理意义是基于期望信号被无失真接收的条件下最小化干扰加噪声功率，也被称为最小方差无失真响应波束形成(minimum variance distortionless respond，MVDR)，同样地，我们可以用拉格朗日乘数法对其进行求解，可以得到该优化问题的解为
$\mathbf{w}=\frac{\mathbf{R}_{\mathrm{i}+n}^{-1} \mathbf{a}_{0}}{\mathbf{a}_{0}^{\mathrm{H}} \mathbf{R}_{\mathrm{i}+\mathbf{n}}^{-1} \mathbf{a}_{0}}$w=a0H​Ri+n−1​a0​Ri+n−1​a0​​
此时，阵列的输出为$\mathbf{w}^{\mathrm{H}} \mathbf{R}_{\mathrm{i}+\mathrm{n}} \mathbf{w}=E\left\{\left|\mathbf{w}^{\mathrm{H}} \mathbf{x}_{\mathrm{i}+\mathrm{n}}(t)\right|^{2}\right\}$wHRi+n​w=E{∣∣​wHxi+n​(t)∣∣​2}表示输出数据中干扰加噪声信号的方差，下面我们来证明，这两种最优加权系数是等价的。
根据矩阵求逆引理，可以得到
$\mathbf{R}_{\mathrm{i}+\mathrm{n}}^{-1}=\left(\mathbf{R}-\sigma_{s}^{2} \mathbf{a}_{0} \mathbf{a}_{0}^{\mathrm{H}}\right)^{-1}=\mathbf{R}^{-1}+\frac{\sigma_{s}^{2} \mathbf{R}^{-1} \sigma_{s}^{2} \mathbf{a}_{0} \mathbf{a}_{0}^{\mathrm{H}} \mathbf{R}^{-1}}{1-\sigma_{s}^{2} \mathbf{a}_{0}^{\mathrm{H}} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{a}_{0}}$Ri+n−1​=(R−σs2​a0​a0H​)−1=R−1+1−σs2​a0H​R−1a0​σs2​R−1σs2​a0​a0H​R−1​
将其带入MVDR最优加权系数中可以得到，分子为
$\mathbf{R}_{\mathrm{i+n}}^{-1} \mathbf{a}_{0}=\frac{\mathbf{R}^{-1} \mathbf{a}_{0}}{1-\sigma_{s}^{2} \mathbf{a}_{0}^{\mathrm{H}} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{a}_{0}}$Ri+n−1​a0​=1−σs2​a0H​R−1a0​R−1a0​​
和分母为
$\mathbf{a}_{0}^{\mathrm{H}} \mathbf{R}_{\mathrm{i+n}}^{-1} \mathbf{a}_{0}=\frac{\mathbf{a}_{0}^{\mathrm{H}} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{a}_{0}}{1-\sigma_{s}^{2} \mathbf{a}_{0}^{\mathrm{H}} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{a}_{0}}$a0H​Ri+n−1​a0​=1−σs2​a0H​R−1a0​a0H​R−1a0​​
因此可以得到
$\frac{\mathbf{R}_{\mathrm{i}+\mathbf{n}}^{-1} \mathbf{a}_{0}}{\mathbf{a}_{0}^{\mathrm{H}} \mathbf{R}_{\mathrm{i}+\mathbf{n}}^{-1} \mathbf{a}_{0}}=\frac{\mathbf{R}^{-1} \mathbf{a}_{0}}{\mathbf{a}_{0}^{\mathrm{H}} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{a}_{0}}$a0H​Ri+n−1​a0​Ri+n−1​a0​​=a0H​R−1a0​R−1a0​​
从上面可以看出，两种形式的最优加权系数是等价的。
当然，还可以通过仿真来验证两者的等价性，仿真参数设置如下：

通过对阵列的方向图仿真可以得到如下的结果

可以看出，两种加权系数的方向图完全重合，同时在期望信号方向上达到最大增益，干扰角度方向上形成零陷，也就说明了两种加权系数的有效性和等价性

将两者画成上下两幅图也可以看出以上结论。
那么，画出两者的空间谱如下

从空间谱也可以看出，两种的等价性

两种方法的空间谱如上，从两幅图也可以看出以上结论。