曲线的凹凸性与拐点

一个函数在上升或下降的过程中，常常会有一个弯曲方向的问题，例如：虽然同为上升函数，但弯曲方向的不同使它们看起来有显著的区别

下面给出曲线凹凸性的定义:
设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1,x2恒有

那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧);
如果恒有那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧).

如果函数f(x)在I内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的正负来判定曲线的凹凸性，由此可以推导出曲线凹凸性的判定定理：
设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么
(1)若在(a,b)内f′′(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；
(2)若在(a,b)内f′′(x)<0，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的

拐点的定义：
设y=f(x)在区间I上连续，x0是I内的点.如果曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性(函数二阶导的符号)改变了，那么就称点(x0,f(x0))为这曲线的拐点(反曲点).

需要明确的是：拐点是曲线上的一点，它有横坐标和纵坐标，不要只把横坐标当成拐点.

要寻找拐点，只要找出f′′(x)符号发生变化的分界点即可，也就是找出f′(x)单调增减区间发生变化的分界点即可.因此，如果f(x)在区间(a, b)内具有二阶导，那么在这样的分界点处必有f′′(x)=0；除此之外，f(x)的二阶导数不存在的点，也可能是f′′(x)的符号发生变化的分界点。