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正态分布&&切比雪夫不等式

分类: 文章 • 2024-07-16 11:15:40

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一维正态分布

若随机变量

正态分布&&切比雪夫不等式

服从一个位置参数为

正态分布&&切比雪夫不等式

、尺度参数为

正态分布&&切比雪夫不等式

的概率分布，且其概率密度函数为[2]

正态分布&&切比雪夫不等式

则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作

正态分布&&切比雪夫不等式

，读作

正态分布&&切比雪夫不等式

服从

正态分布&&切比雪夫不等式

，或

正态分布&&切比雪夫不等式

服从正态分布。

μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。

本词条的正态分布是一维正态分布，此外多维正态分布参见“二维正态分布”。

标准正态分布

当

正态分布&&切比雪夫不等式

时，正态分布就成为标准正态分布

正态分布&&切比雪夫不等式

性质

正态分布的一些性质：[2]

（1）如果

正态分布&&切比雪夫不等式

且a与b是实数，那么

正态分布&&切比雪夫不等式

(参见期望值和方差)。

（2）如果

正态分布&&切比雪夫不等式

与

正态分布&&切比雪夫不等式

是统计独立的正态随机变量，那么：

它们的和也满足正态分布

正态分布&&切比雪夫不等式

它们的差也满足正态分布

正态分布&&切比雪夫不等式

U与V两者是相互独立的。（要求X与Y的方差相等）

（3）如果

正态分布&&切比雪夫不等式

和

正态分布&&切比雪夫不等式

是独立常态随机变量，那么：

它们的积XY服从概率密度函数为p的分布

正态分布&&切比雪夫不等式

其中

正态分布&&切比雪夫不等式

是修正贝塞尔函数（modified Bessel function）

它们的比符合柯西分布，满足

正态分布&&切比雪夫不等式

（4）如果

正态分布&&切比雪夫不等式

为独立标准常态随机变量，那么

正态分布&&切比雪夫不等式

服从自由度为n的卡方分布。

切比雪夫不等式，描述了这样一个事实，事件大多会集中在平均值附近。

2.1 切比雪夫不等式与直观感受

切比雪夫不等式是这么写的：

正态分布&&切比雪夫不等式

其中正态分布&&切比雪夫不等式，是期望，是标准差。

我们还是通过正态分布&&切比雪夫不等式的正态分布来感受一下切比雪夫不等式：可见，越远离平均值，概率越低。

2.2切比雪夫不等式的证明

马尔科夫不等式是这样的：

正态分布&&切比雪夫不等式

我们把正态分布&&切比雪夫不等式代入：

正态分布&&切比雪夫不等式

很显然等价于：

正态分布&&切比雪夫不等式

令正态分布&&切比雪夫不等式，容易得到：

正态分布&&切比雪夫不等式