长短时记忆网络(LSTM)
长短时记忆网络是啥
长短时记忆网络的思路比较简单。原始RNN的隐藏层只有一个状态，即h，它对于短期的输入非常敏感。那么，假如我们再增加一个状态，即c，让它来保存长期的状态，那么问题不就解决了么？如下图所示：
新增加的状态c，称为单元状态(cell state)。我们把上图按照时间维度展开：
上图仅仅是一个示意图，我们可以看出，在t时刻，LSTM的输入有三个：当前时刻网络的输入值、上一时刻LSTM的输出值
、以及上一时刻的单元状态
；LSTM的输出有两个：当前时刻LSTM输出值
、和当前时刻的单元状态
。注意x、h、c都是向量。
LSTM的关键，就是怎样控制长期状态c。在这里，LSTM的思路是使用三个控制开关。第一个开关，负责控制继续保存长期状态c；第二个开关，负责控制把即时状态输入到长期状态c；第三个开关，负责控制是否把长期状态c作为当前的LSTM的输出。三个开关的作用如下图所示：
长短时记忆网络的前向计算
先来看一下遗忘门：
上式中，是遗忘门的权重矩阵，
表示把两个向量连接成一个更长的向量，
是遗忘门的偏置项，
是sigmoid函数。如果输入的维度是
，隐藏层的维度是
，单元状态的维度是
（通常
），则遗忘门的权重矩阵
维度是
。事实上，权重矩阵
都是两个矩阵拼接而成的：一个是
，它对应着输入项
，其维度为
；一个是
，它对应着输入项
，其维度为
。
可以写为：
下图显示了遗忘门的计算：
输入门：
输入门的计算：
当前输入的单元状态，它是根据上一次的输出和本次输入来计算的：
的计算：
现在，我们计算当前时刻的单元状态:
符号表示按元素乘。下图是
的计算：
输出门：
输出门的计算：
LSTM最终的输出，是由输出门和单元状态共同确定的：
下图表示LSTM最终输出的计算：
长短时记忆网络的训练
**函数
LSTM需要学习的参数共有8组，分别是：遗忘门的权重矩阵和偏置项
、输入门的权重矩阵
和偏置项
、输出门的权重矩阵
和偏置项
，以及计算单元状态的权重矩阵
和偏置项
。因为权重矩阵的两部分在反向传播中使用不同的公式，因此在后续的推导中，权重矩阵
、
、
、
都将被写为分开的两个矩阵：
、
、
、
、
、
、
、
。
元素乘符号运算：
当作用于一个向量和一个矩阵时，运算如下：
对角矩阵右乘一个矩阵：
行向量右乘一个对角矩阵：
定义t时刻的误差项为：
加权输入，以及他们对应的误差项：
误差项沿时间的反向传递
沿时间反向传递误差项，就是要计算出t-1时刻的误差项。
利用式4和式6以及全导公式得：
(式7)
根据式6，我们可以求出：
根据式4，我们可以求出：
因为：
我们很容易得出：
将上述偏导数带入到式7，我们得到：
注意：原链接此处推导有误，应该为
根据、
、
、
的定义，可知：
式8到式12就是将误差沿时间反向传播一个时刻的公式。有了它，我们可以写出将误差项向前传递到任意k时刻的公式：
(式13)
注意：原链接此处推导有误，只能迭代计算
权重梯度的计算
t时刻的、
、
、
：
将各个时刻的梯度加在一起，就能得到最终的梯度：
各个时刻的偏置项梯度：
下面是最终的偏置项梯度，即将各个时刻的偏置项梯度加在一起：
对于、
、
、
的权重梯度，只需要根据相应的误差项直接计算即可：
GRU
前面我们讲了一种普通的LSTM，事实上LSTM存在很多变体，许多论文中的LSTM都或多或少的不太一样。在众多的LSTM变体中，GRU (Gated Recurrent Unit)也许是最成功的一种。它对LSTM做了很多简化，同时却保持着和LSTM相同的效果。因此，GRU最近变得越来越流行。
GRU对LSTM做了两个大改动：
- 将输入门、遗忘门、输出门变为两个门：更新门（Update Gate）
和重置门（Reset Gate）
。
- 将单元状态与输出合并为一个状态：h。
GRU的前向计算公式为：
下图是GRU的示意图：