简单易懂的余弦相似度与欧式距离
1、余弦相似度
给定两个属性向量，A和B，其余弦相似性θ由点积和向量长度给出，如下所示：
符号表示：
其中：分别代表向量A和B的各分量
数值表示：
（二维）
（高维）
给出的相似性范围从-1到1：
-1意味着两个向量指向的方向正好截然相反，1表示它们的指向是完全相同的，0通常表示它们之间是独立的，而在这之间的值则表示中间的相似性或相异性。
余弦距离：
2、欧式距离
N维欧氏空间中两点，
间的距离公式：
3、二者关系
标准化之后的欧式距离近似于余弦距离
证明如下：
证法一：
假设二维空间两个点，
然后归一化为单位向量
那么余弦相似度为：
欧式距离为：
化简后结果：
作图如下：
可以从图像上看到二者的值比较接近
对于高维空间与二维类似
证法二：
余弦相似度的定义公式为
，
归一化后
余弦距离：
欧式距离：
由公式可以看出归一化后，欧式距离与余弦距离存在单调性关系，此时两种距离的值域都为[0,2]。
欧式距离与余弦距离的对比：
1.欧式距离的数值受到维度的影响，余弦相似度在高维的情况下也依然保持低维完全相同时相似度为1等性质。
2.欧式距离体现的是距离上的绝对差异，余弦距离体现的是方向上的相对差异。
参考：
https://www.zhihu.com/question/19640394