（个人笔记，由于刚开始学习再加上英语不太好，所以有的地理解的可能不太对，望指正）

Chapter 18 Light

18.1 Radiometry

光从本质上来说是一种能量的传播形式，单位是焦耳(joule, J)。

18.1.1 Photons

对于本章的目的来说，光子是一个拥有位置，传播方向和波长$\lambda$λ的光量子(a quantum of light)。一个光子的速度为$c$c，这个速度只取决于介质的折射率$n$n，它的频率为$f=c/\lambda$f=c/λ，不同于$\lambda$λ和$c$c，当光进入一个折射率不同的介质时，它是不发生变化的。

一个光子所带的能量为：

$q = hf = \frac{hc}{\lambda}$q=hf=λhc​

其中$h=6.63*10^{-34}J$h=6.63∗10−34J，称为普朗克系数。

18.1.2 Spectral Energy

当$\Delta\lambda$Δλ趋近于0时，$Q_{\lambda}$Qλ​的值会为0或者非常依赖于是否有一个光子位于给定的区域内。有两种思想流派应对这个问题，第一个是$\Delta\lambda$Δλ会很小但是不会小于光子发挥物理性能的范围，第二个是假定光是一个连续的状态而不是单独的光子，这两种不同的思路的解决方案是相同的。

$Q_{\lambda}$Qλ​称为spectral energy，单位是J/nm。在图形学忠energy很少被使用，所以用$Q$Q替代$Q_{\lambda}$Qλ​。

$Q = \frac{\Delta q}{\Delta\lambda}$Q=ΔλΔq​

18.1.3 Power

光源产生能量的频率称为power，单位为瓦(watts, W)，等价于J/s。

$\Phi_{\lambda}$Φλ​称为spectral power，单位是W/nm，在图形学中也会使用省略$\lambda$λ角标的表示方法。

$\Phi = \frac{\Delta q}{\Delta t \Delta\lambda}$Φ=ΔtΔλΔq​

18.1.4 Irradiance

对于一个点来说，接收到光的量的0，也是没有意义的，所以需要使用一个密度函数，所以产生了irradiance(辐照度)的概念，单位为$W/m^2$W/m2。

$H=\frac{\Delta\Phi}{\Delta A} = \frac{\Delta q}{\Delta A\Delta t\Delta\lambda}$H=ΔAΔΦ​=ΔAΔtΔλΔq​

光离开平面的辐照度也称为radiant exitance, E。

18.1.5 Radiance

irradiance描述了到达顶点光的数量，但是没有说明光的方向，为了类比人眼看到的内容，需要一个物理量能够描述在指定方向接收到光的数量。

这个物理量称为spectral radiance(辐射率)。

$L = \frac{\Delta H}{\Delta\sigma}$L=ΔσΔH​

radiance的优点之一是不随空间距离变化而改变

由于$\Delta A$ΔA可能并不与平面重合，所以需要添加一个cosine校正参数

$L = \frac{\Delta H}{\Delta\sigma cos\theta}$L=ΔσcosθΔH​

离开平面的辐射率用$L_{s}$Ls​表示，到达平面的辐射率用$L_f$Lf​表示。

如果一个表面的field radiance是$L_f$Lf​，那么可以利用它推导出其他的辐射量。

$H = \int_{all\ k}L_f(k)cos\theta d\sigma$H=∫all k​Lf​(k)cosθdσ

假设对于所有入射光线k的辐射率都是相同的，使用球坐标来表示立体角

$d\sigma \equiv sin\theta d\theta d\phi$dσ≡sinθdθdϕ

所以辐照度为

$H = \int_{\phi = 0}^{2\pi}\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}}L_fcos\theta sin\theta d\theta d\phi =\pi L_f$H=∫ϕ=02π​∫θ=02π​​Lf​cosθsinθdθdϕ=πLf​

到达表面的能量可以表示为

$\Phi = \int_{all\ X}H(X)dA$Φ=∫all X​H(X)dA

18.1.6 BRDF

为了描述一个表面是如何反射光的，可以从直观上来看，对于一个从$k_i$ki​方向到达的入射光，会有一部分光反射到$k_o$ko​方向的一个立体角。可以利用辐射率测量仪器进行测量

在测量得到$(k_i, k_o)$(ki​,ko​)的测量结果后，也需要确保反射函数与光的强度无关，但是测量仪器会计算测量范围之外的光（好像是这个意思…）

所以可以将一个辐照度测量仪在需要测量的表面位置处，它的结果会准确很多。可以将反射表示为一个比率

$\rho = \frac{L_s}{H}$ρ=HLs​​

$H$H是光$k_i$ki​处的辐照度，$L_s$Ls​是$k_o$ko​方向测量的辐射率。如果对于所有入射、出射方向都建立测量，那么会得到一个4D函数$\rho(k_i, k_o)$ρ(ki​,ko​)，这个函数被称为bidirectional reflectance distribution function(BRDF)

Directional Hemispherical Reflectance

反射光的比率依赖于入射光的定向分布，基于这个原因，通常只需要设置固定的入射方向$k_i$ki​反射的比率，称为directional hemispherical reflectance

$R(k_i) = \frac{power\ in\ all\ outgoing\ dirction\ k_o}{power\ in\ a\ beam\ from\ direction\ k_i}$R(ki​)=power in a beam from direction ki​power in all outgoing dirction ko​​

处于能量保存的原因，这个值只能位与0到1之间。入射的能量是$\Phi_i$Φi​，它到达一个面积为$\Delta A$ΔA的区域，所以入射光的辐照度为$\Phi_i /\Delta A$Φi​/ΔA，所以这个比率也可以表示为

$R(k_i)=\frac{E}{H}$R(ki​)=HE​

根据以上定义

$L(k_o) = H\rho (k_i, k_o) = \frac{\Phi_i}{\Delta A}(????为啥)$L(ko​)=Hρ(ki​,ko​)=ΔAΦi​​(????为啥)

根据辐射率的定义

$L(k_o)=\frac{\Delta E}{\Delta \sigma_o cos\theta_o}$L(ko​)=Δσo​cosθo​ΔE​

所以有

$H\rho (k_i, k_o) = \frac{\Delta E}{\Delta \sigma_o cos\theta_o} \\ \frac{\Delta E}{H} = \rho (k_i, k_o)\Delta \sigma_o cos\theta_o$Hρ(ki​,ko​)=Δσo​cosθo​ΔE​HΔE​=ρ(ki​,ko​)Δσo​cosθo​

可以导出$R(k_i)$R(ki​)的公式

$R(k_i) = \int_{all\ k_o}\rho (k_i, k_o) cos\theta_o d\sigma_o$R(ki​)=∫all ko​​ρ(ki​,ko​)cosθo​dσo​

Ideal Diffuse BRDF

一种理想表面称为Lambertian，这种表面的$\rho$ρ值对于所有角度都是等于一个常数，这表示表面对于所有的观察角度都具有相同的辐射率，并且这个辐射率与辐照度成比例

假定$\rho=C$ρ=C，有

$R(k_i)=\int_{all\ k_o}Ccos\theta_osin\theta_o d\sigma_o \\ = \int_{\phi = 0}^{2\pi}\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}}Ccos\theta_o sin\theta_o d\theta_o d\phi_o = \pi C$R(ki​)=∫all ko​​Ccosθo​sinθo​dσo​=∫ϕ=02π​∫θ=02π​​Ccosθo​sinθo​dθo​dϕo​=πC

对于完美反射的Lambertian表面(R = 1)，有$\rho=1/\pi$ρ=1/π，对于$R(k_i)=r$R(ki​)=r的Lambertian表面有

$\rho(k_i, k_o) = \frac{r}{\pi}$ρ(ki​,ko​)=πr​

18.2 Transport Equation

如果利用方向为$\Delta \sigma_i$Δσi​辐射率为$L_i$Li​的光线来测量$k_o$ko​方向对应的一部分的反射率，可以计算出BRDF

$H = L_icos\theta_i\Delta\sigma_i \\ \rho = \frac{L_o}{L_icos\theta_i\Delta\sigma_i}$H=Li​cosθi​Δσi​ρ=Li​cosθi​Δσi​Lo​​

调整这个公式，可以得到来自于方向为$k_i$ki​的光线的辐射率微分

$\Delta L_o=\rho(k_i, k_o)L_icos\theta_i \Delta\sigma_i$ΔLo​=ρ(ki​,ko​)Li​cosθi​Δσi​

如果光线来自于多个方向，那么可以求它们的和

$L_s(k_o) = \int_{all\ k_i}\rho(k_i, k_o)L_f(k_i)cos\theta_i d\sigma_i$Ls​(ko​)=∫all ki​​ρ(ki​,ko​)Lf​(ki​)cosθi​dσi​

该公式在图形学领域也被称为rendering equation

有时仅依据表面辐射率来表示transform equaton也是很有效的。在一个封闭空间中，表面上的一点的入射光辐射率是来自于另一个平面的反射率$L_s(-k_i)=L_f(k_i)$Ls​(−ki​)=Lf​(ki​)

从点$x'$x′发出的立体角为

$\Delta \sigma_i=\frac{\Delta A'cos\theta'}{||x-x'||^2}$Δσi​=∣∣x−x′∣∣2ΔA′cosθ′​

其中$\Delta A'$ΔA′表示与$x'$x′关联的面积，将该式带入之前$L_s(k_o)$Ls​(ko​)的表达式中

$L_s(x, k_o) = \int_{all\ x'\ visible\ to\ x}\frac{\rho(x', x-x')cos\theta_icos\theta'}{||x-x'||^2}dA'$Ls​(x,ko​)=∫all x′ visible to x​∣∣x−x′∣∣2ρ(x′,x−x′)cosθi​cosθ′​dA′

利用遮挡函数

$v(x, x') = \begin{cases} 1\ if\ x\ and\ x'\ are\ mutually\ visible \\ 0\ otherwise \end{cases}$v(x,x′)={1 if x and x′ are mutually visible0 otherwise​

替代积分区间可以有

$L_s(x, k_o) = \int_{all\ x'}\frac{\rho(x', x-x')v(x,x')cos\theta_icos\theta'}{||x-x'||^2}dA'$Ls​(x,ko​)=∫all x′​∣∣x−x′∣∣2ρ(x′,x−x′)v(x,x′)cosθi​cosθ′​dA′

18.3 Photometry

每个光谱辐射量(spectral radiometric quantity)都有一个对应的光度值(photometric quantity)来表示有多少被人眼接收到的有效量，对于一个给定的光谱辐射量$f_r(\lambda)$fr​(λ)其对应的$f_p$fp​是

$f_p=683\frac{lm}{W}\int_{\lambda=380nm}^{800nm}\bar{y}(\lambda)f_r(\lambda)d\lambda$fp​=683Wlm​∫λ=380nm800nm​yˉ​(λ)fr​(λ)dλ

其中$\bar{y}(\lambda)$yˉ​(λ)是人视觉系统的发光效率函数(luminous efficiency function)，它在积分区间外为0。

不同波长的光对应的发光效率函数的灵敏程度不同

图形学中最常用的光度值是明度(luminance)

$Y = 683\frac{lm}{W}\int_{\lambda=380nm}^{800nm}\bar{y}(\lambda)L(\lambda)d\lambda$Y=683Wlm​∫λ=380nm800nm​yˉ​(λ)L(λ)dλ

明度的单位为$(lm/W)(W/(m^2sr))=lm/(m^2sr)$(lm/W)(W/(m2sr))=lm/(m2sr)，lm为流明(lumens)。