FIRST集

1.什么是FIRST集？

一个符号的FIRST集表示一个符号或句型可以推导出的句子的首符号的集合。

举个例子：A→aa|bb|cc。a,b,c是终结符，则FIRST(A)={a,b,c}

通过上面的定义解释一下，符号A可以推导出三个句子{aa,bb,cc}，那么，这三个句子的首符号集合FIRST(A)={a,b,c}。

2.FIRST集求法

再给出最终结论之前，首先看以下的几种情况

求一个终结符号的FIRST集

终结符号经过推导（0步推导）后，推导出自己本身，所以如果a是一个终结符号，则FIRST(a)={a}

可以推导出空串的非终结符号的FIRST集

如果一个非终结符号可以推导出空串，则有以下两种情况：

对于经过若干步可以推导出空串的非终结符号，有以下结论：

不能推导出空串的非终结符号的FIRST集

如果一个非终结符号不能推导出空串，它可以被形式的描述为：

对于上面的情况，首先FIRST(Y₁)-{ε}(这里减去{ε}的原因下面说)是FIRST(X)的一个子集，因为经过推导之后，用产生式的右部（多个Y）替换了X，则第一个字符就是Y₁，所以，FIRST(Y₁)-{ε}是FIRST(X)的一个子集（或者说，将FIRST(Y₁)-{ε}加入FIRST(X)）。

减去{ε}的原因：如果Y₁可以推导出ε，则ε属于FIRST(Y₁)，但是仅仅Y₁可以推导出空串，还不足以说明X可以推导出空串，只有X可以推导出ε，才可以将ε加入FIRST集（上面讨论的情况）。Y₂可能不能推导出空串，所以X就不能推导出空串。

举个例子：

如上图的例子，我们可以看到，我们上面讨论的Y₁就是A，所以，FIRST(A)-{ε}是FIRST(X)的一个子集（或者说将FIRST(A)-{ε}加入FIRST(X)），因为X只有一条产生式，这个产生式有这一条“线索”，因此分析到这里，就分析结束了，也就是说FIRST(X)=FIRST(A)-{ε}。

所以，问题变成了求FIRST(A)，这里，A有三个产生式，分别推导出终结符号a，b，c。也就是说，对于每一个产生式，Y₁分别为a，b，c。FIRST(a)-{ε}，FIRST(b)-{ε}，FIRST( c)-{ε}都是FIRST(A)的子集，也就是说，FIRST(A)=FIRST(a)-{ε}+FIRST(b)-{ε}+FIRST( c)-{ε}={a,b,c}（终结符号的FIRST集就是它自己构成的集合，我们上面讨论过的）

继续分析，上面的情况，我们忽略了Y₁可能推导出空串的情况。也就是说，如果将文法做一下修改，变成如下分文法：

想一下，如果X在推导过程中，A使用了空串产生式，那么，B就变成了第一个符号，因此FIRST(B)-{ε}也应该是FIRST(X)的子集。也就是说，如果Y₁有空串产生式，则Y₂的FIRST集-{ε}是FIRST(X)的子集。

继续进行归纳，如果Y₁和Y₂都有空串产生式，再将文法修改一下：

如果在X推导过程中，A和B都使用空串产生式，则C就变成了第一个符号，因此FIRST( C)-{ε}也应该是FIRST(X)的子集。也就是说，如果Y₁，Y₂有空串产生式，则Y₃的FIRST集-{ε}是FIRST(X)的子集。

通过归纳，我们可以得到结论，设产生式X→Y₁Y₂Y₃…Y_k。则，如果Y₁Y₂Y₃…Y_i-1可以推导出空串，也就是说从Y₁到Y_i，每一个符号都能推导出空串，则Y_i的FIRST集-{ε}是FIRST(X)的子集。Y₁，Y₂…Y_i-1这些符号不使用空串产生式时，它们中的每一个都可能成为第一个符号，它们的FIRST集-{ε}都是FIRST(X)的子集。也就是说，对于这种情况，FIRST(X)=FIRST(Y₁)-{ε}+FIRST(Y₂)-{ε}+…+FIRST(Y_i)-{ε}

当然，如果Y₁Y₂Y₃…Y_k可以推导出空串，也就是X推导出了空串，这就变成了我们上面讨论的情况。

3.总结

1. 如果X是终结符号，则FIRST(X)={X}。
2. 如果X是非终结符号，且X可以推导出ε，则将ε加入FIRST(X)。
3. X→Y₁Y₂Y₃…Y_k，若ε∈FIRST(Y₁Y₂Y₃…Y_i-1)（i＜k）,则将（FIRST(Y₁)-{ε}+FIRST(Y₂)-{ε}+…+FIRST(Y_i)-{ε}）加入FIRST(X)，否则，将（FIRST(Y₁)-{ε}）加入FIRST(X)。如果Y₁Y₂Y₃…Y_k可以推导出空串，则就变成了情况2。
4. 补充一条规则，X→Y₁Y₂Y₃…Y_k，FIRST(X)⊇FIRST(Y₁Y₂Y₃…Y_k)

总结方法

如果要求FIRST(X)，首先找到X在左部的产生式，然后对这些产生式应用上面的规则，每应用一次规则，会计算出一个FIRST集的子集，将这些子集加入FIRST(X)。

需要应用两次规则的产生式：对于X→Y₁Y₂Y₃…Y_k，如果Y₁Y₂Y₃…Y_k可以推导出ε，则就说明X可以推导出ε，因此，就可以利用规则2和规则3，也就是两条规则

举个例子：

求FIRST(E)，首先，找到E在左部的产生式

可以看到，产生式的形式属于，X→Y₁Y₂Y₃…Y_k，首先，将FIRST(T)-{ε}加入FIRST(X)。（应用第三条规则，因为T不能推导出空串，所以不需要讨论E’）

问题又变成了求FIRST(T)，找到T在左部的产生式，

同理，将FIRST(T)=FIRST(F)-{ε}（同样，因为F不能推导出ε，而且这里只有一条产生式，且只用了一次规则，所以，可以确定FIRST(T)=FIRST(F)-{ε}）

因此，又要先求FIRST(F)
找到F在产生式左部的产生式

可以看到，F在左部的产生式有两个，因此，FIRST(F)=FIRST(()-{ε}+FIRST(i)-{ε}={(, i}

FIRST(T) = FIRST(F)-{ε} = {(, i}
FIRST(E) = FIRST(E)-{ε} = {(, i}

经过上面的分析，我们得到FIRST(E)=FIRST(T)=FIRST(F)={(, i}

接下来分析稍复杂的FIRST(E’)，还是那样，需要找到E’在产生式左部的产生式

有两个产生式，一个是空串产生式，应用规则3；另一个应用规则3，再将这两个结果求并集即可，FIRST(E’)={ε}+(FIRST(+)-{ε})={ε, +}

同理，FIRST(T’)={ε, *}

FIRST(E’T’)=？ 句型E’T’是符合应用两次规则的句型。
第一次应用规则：应用规则3，(FIRST(E’)-{ε}+FIRST(T’)-{ε})是FIRST(E’T’)的子集。

第二次应用规则：应用规则2，又因为E’T’可以推导出空串，所以ε∈FIRST(E’T’)。

将两条“线索”得到的结果求并集，FIRST(E’T’)=FIRST(E’)-{ε}+FIRST(T’)-{ε}+{ε}={+}+{*}+{ε}={+,*,ε}