程序员的数学

0的故事–无即是有

• 要点：按位计数法，0的作用

• 案例：理解0的作用，生活中的0的案例

  • 没有计划的计划，使用0来表示自由时间下的空计划，起到占位的作用
  • 没有药效的药，周一到周六吃药，周天不吃药，使用0来表示周天，简化规则为，每天吃药，周天吃没有效果的药。

• 按位计数法

  • 二进制、八进制、十进制、十六进制都是按位计数法。

  • 罗马数字：不使用按位计数，不含零，数位没有意义，计数麻烦

• 指数法则：a^n*am=a^(n+m)

• 0的作用：1.用来占位，确保位数高于它的数字不会产生错位. 2.统一标准，简化规则。

• 问题分解法：

• 按位计数法的产生：

  • 为什么要发明计数法：数字越大就越难处理

  • 12个罗马数字I，由XII代替，又被12代替，更是简单

  • 将大问题分解成小的“单元”

逻辑–真与假的二元世界

• 要点：使用逻辑表达式、真值表、文式图、卡诺图来解析复杂的逻辑。

• 自然语言存在歧义，所以需要使用逻辑来消除歧义

• 命题：能够判断真假的陈述语句

• 规则：

  1. 规则的完整性：确定规则没有遗漏

  2. 规则的排他性：确定规则没有重复

     • 案例：乘车费用问题

• 复杂命题

  • 与、或、非

  • 异或：只有当A和B不相同时，才为True。例如：楼梯口使用两开关控制一盏灯。

  • 相等：异或的否定

  • 摩根定律：

    1. “非A”与“非B” 等价 非“A或B”
    2. “非A”或“非B” 等价于 和非“A与B”

• 解析命题的方法：

  • 逻辑表达式

  • 真值表：

  • 文氏图：直观

  • 卡诺图：将所有命题的真假组合以二维表的形式表示的图。

    • 适用于：简化逻辑表达式，设计逻辑电路等

    • 案例：二灯游戏、三灯游戏。

• 未定义值的三值逻辑

余数–余数就是分组

• 介绍一种将大问题简化成小问题的思维

• 余数就是分组：

  • 周期性：将问题分组成完整的周期和不完整的周期（既是余数）

    • 星期数的思考

  • 奇偶性：将问题分组成奇数组和偶数组

• 奇偶性：

  • 一笔画：

    • 满足一笔画的条件：

    • 当起点和终点一致时，顶点都是偶点时才能一笔画

    • 当起点和终点不一致时，除了起点和终点是奇点，其余的必须是偶点

  • 案例：寻找恋人，8个村庄可分为奇数村和偶数村

  • 案例：黑白棋通讯

  • 案例：铺设草席

• 利用周期性和奇偶性，将大问题简化成小问题。

• 分组使用的是”正确的把握“思维，而不应该陷入”准确的分类“思维

数学归纳法–如何征服无穷数列

• 思考题：存钱罐里的钱

  • 推到出$1+2+3+...+n=n(n+1)/2$1+2+3+...+n=n(n+1)/2

  • 

• 数学归纳法：

  • 定义：是用来证明有关整数的断言对所有整数（0、1、2、3…）是否成立时所用的方法

  • 多米罗骨牌原理

    • 确保前一个骨牌到下能带倒后一个骨牌

    • 推到第一个骨牌

  • 证明断言A(n)成立的两个步骤

    • 基底：A(0)成立

    • 归纳：证明如果A(k)成立时，A(k+1)也成立

• 实例：

  • 奇数之和：$1+3+5+...+（2n-1）=n^2$1+3+5+...+（2n−1）=n2

  • 图示化说明：

• 数学归纳法于编程的关系

  • 通过循环表示数学归纳法

  • 循环不变式：每次循环都成立的逻辑表达式，相当于数学归纳法的断言

排列组合–解决计数问题的方法

• 计数问题的六种方法

• 怎样计数

  • 注意遗漏和重复

• 植树问题

  • 不要忘记0

• 加法原则：要数出两个集合的的事物时，可以使用加法原则

  • 运用前提：两个集合没有交集

  • 容斥原理运用：将两个集合元素数相加，然后减去重复的部分

  • 

• 乘法原则：两个集合进行元素配对的法则

• 置换：将n个事物按顺序进行排列

  • 阶乘：阶状递减相乘

• 排列：排列是特殊的置换，从n个不同的事物中取出k个按照顺序排列

  • 用阶乘表示排列

    

• 组合：不考虑顺序的排列

  • 计数方法：先考虑顺序进行计数，然后除以重复度

• 置换、排列和组合之间的关系

  • 排列=置换 x 组合

  • 从五张牌里选出三张排列=三张置换 x 从五张牌里选出三张组合

• 认清计数对象的性质

• 练习题

2. 药品调剂

   • 重复组合问题

   • 隔板法

2- 至少一端是王牌

• 排列

• 第一种思路，使用加法原则分情况讨论

• 第二种思路，通过否命题间接求出答案

递归–用自己定义自己

• 目的：使用递归的方法把握问题的观点

  • 方法：先找到递归结构，然后导出递归定义和递归公式

  • 使用递归的观点解决问题的关键：找到隐含的**“递归结构”**

  • 使用递归，能简洁地描述复杂的结构

• 编程中的递归结构：代码的缩进、树型数据结构、快速排序算法

• 定义：用自己定义自己，用自己推导自己

• 汉诺塔谜题：从n-1层汉诺塔解出n层汉诺塔

• 

• n层汉诺塔移动需要的次数：H(n)=H(n-1)+1+H(n-1)

• 递推公式：我们将同时包含H(n)和H(n-1)的公式称为递推公式

• 阶乘：用n-1！求出n！

  • 用递归的公式表达：n! = n×(n-1)!

• 递归VS归纳

  • 本质是都是***将复杂的问题简单化***

  • 不同是：递归是在一般性前提推出个别性结论

    • 归纳是在个别性前提推出一般性结论

• 斐波那契数列

  • 不断繁衍的动物

    • n-1天的动物依旧存活着

    • n-2天以前的动物 会在n天繁殖一代

    • H(n)=H(n-1)+H(n-2)

    • 

• 杨辉三角

  • 

  • 

• 用递归表示组合

  -