什么是张量？

什么是张量

  本文中我们用积木、小箭头、纸板以及指向箭头来描述向量以及张量的一些概念。向量具有方向和大小，其长度表示大小，箭头的指向表示其方向。向量可以表示一个平面：我们可以用向量的大小表示平面的面积，而向量的方向沿着平面的法线方向。
  向量仅仅是张量家族的众多成员中的一个成员。为了对张量的概念加以描述，我们首先建立三维坐标系：

  上图中，我们用 $\hat{x},\hat{y},\hat{z}$x^,y^​,z^ 表示三个坐标轴的单位向量。空间坐标系中的任意一个向量都可以用三个单位向量进行表示，表示方法为 $\overrightarrow{l}=a \times \hat{x} + b \times \hat{y} + c \times \hat{z}$l=a×x^+b×y^​+c×z^，其中 $a,b,c$a,b,c 是向量在 $x,y,z$x,y,z 坐标轴上投影的长度。基于此，我们便可以使用如下方式表示该向量：
$\left( \begin{matrix} a\\ b\\ c \end{matrix} \right) 或者 \left( \begin{matrix} a & b & c \end{matrix} \right)$⎝⎛​abc​⎠⎞​或者(a​b​c​)
  这就是向量称为"一阶张量"的原因——每个分量都由一个基向量组成。我们接下来看一下3维空间内的2阶张量。

  不难发现2阶张量是由9个元素以及9组基向量组成，其中每一组基向量都包含两个基本向量，并且此时元素的下标也由 $A_x$Ax​ 变为了 $A_{xx}$Axx​。你可以认为每一个元素都表示某一平面内施加某一方向的力，例如两个水平向右的元素表示向垂直于屏幕的平面施加水平向右的力。
  我们接下来来看3阶张量。这种张量由27个元素以及27组基向量组成，其中每一组基向量都包含三个基本向量，并且此时元素的下标也由 $A_x$Ax​ 变为了 $A_{xxx}$Axxx​。


  张量的强大之处在于将基本向量进行了有效的组合，从而增强了其表示能力。
YouTube