集成学习之Adaboost算法

1. 回顾boosting算法的基本原理

    在集成学习原理小结中，我们已经讲到了boosting算法系列的基本思想，如下图：

    从图中可以看出，Boosting算法的工作机制是首先从训练集用初始权重训练出一个弱学习器1，根据弱学习的学习误差率表现来更新训练样本的权重，使得之前弱学习器1学习误差率高的训练样本点的权重变高，使得这些误差率高的点在后面的弱学习器2中得到更多的重视。然后基于调整权重后的训练集来训练弱学习器2，如此重复进行，直到弱学习器数达到事先指定的数目T，最终将这T个弱学习器通过集合策略进行整合，得到最终的强学习器。

    不过有几个具体的问题Boosting算法没有详细说明:

1. 如何计算学习误差率e?
2. 如何得到弱学习器权重系 $\alpha$α ?
3. 如何更新样本权重D?
4. 使用何种结合策略？

2. Adaboost算法的基本思路

2.1、AdaBoost(Adaptive Boosting, 自适应增强)算法采取的方法是:

1. 提高上一轮被错误分类的样本的权值，降低被正确分类的样本的权值；
2. 线性加权求和。误差率小的基学习器拥有较大的权值，误差率大的基学习器拥有较小的权值。

2.2、Adaboost算法图解

2.3、算法步骤

    Adaboost 算法有多种推导方式，比较容易理解的是基于 “加性模型”（additive model），即基学习器的线性组合。

    周志华《机器学习》p174有证明，加性模型的损失函数可为指数函数。指数损失函数是分类任务原本0/1损失函数的一致(consistent)替代损失函数，由于指数损失函数有更好的数学性质，例如处处可微，所以我们用它替代0/1损失作为优化目标。

    在 Adaboost 算法中，第一个基分类器 $h_1$h1​ 是通过直接将基学习算法用于初始数据分布而得；此后迭代地生成 $h_t$ht​ 和 $\alpha_t$αt​，当基分类器 $h_t$ht​ 基于分布 $D_t$Dt​ 产生后，该基分类器的权重 $\alpha_t$αt​ 应使得 $\alpha_th_t$αt​ht​ 最小化指数损失函数

    上式中 $I(⋅)$I(⋅) 是指示函数，$I\left(f(x)=h_t(x)\right)$I(f(x)=ht​(x))表示在数据集 $D_t$Dt​ 中 $f(x)=h_t(x)$f(x)=ht​(x) 的所有数据组成的集合。

    其中 $\epsilon_t=P_{x-D_t} \left(h_t(x)\not=f(x)\right)$ϵt​=Px−Dt​​(ht​(x)​=f(x)),考虑指数损失函数的导数

    令（8.10）为零可解得

    这恰是算法图解（8.3）中算法第 6 行的分类器权重更新公式。

    Adaboost 算法在获得 $H_{t-1}$Ht−1​ 之后样本分布将进行调整，使下一轮的基学习器 $h_t$ht​ 能纠正 $H_{t-1}$Ht−1​ 的一些错误，理想的 $h_t$ht​ 能纠正 $H_{t-1}$Ht−1​ 的全部错误，即最小化

    注意到 $f^2(x)=h^2_t(x)=1$f2(x)=ht2​(x)=1，式（8.12）可使用 $e^{-f(x)h_t(x)}$e−f(x)ht​(x) 的泰勒展式近似为

    于是，理想的基学习器

    注意到 $E_{x-D} [e^{-f(x)H_{t-1}(x)}]$Ex−D​[e−f(x)Ht−1​(x)] 是一个常数，令 $D_t$Dt​ 表示一个分布

    根据数学期望的定义，这等价于令

    由 $f(x)，h(x) \in$f(x)，h(x)∈{$-1,+1$−1,+1}，有

    则理想的基学习器

    由此可见，理想的 $h_t$ht​ 将分布在 $D_t$Dt​ 下最小化分类误差。因此，弱分类器将基于分布 $D_t$Dt​ 来训练，且针对 $D_t$Dt​ 的分类误差应小于 0.5 ，这在一定程度上类似 “残差逼近” 的思想，考虑到 $D_t$Dt​ 和 $D_{t+1}$Dt+1​ 的关系，有

    这恰是图 8.3 中算法第 7 行的样本分布更新公式。

3、Adaboost小结

    理论上任何学习器都可以用于Adaboost。但一般来说，使用最广泛的 Adaboost 弱学习器是决策树和神经网络。对于决策树，Adaboost分类用了CART分类树，而Adaboost回归用了CART回归树。

3.1、Adaboost的主要优点

1. Adaboost作为分类器时，分类精度很高
2. 在Adaboost的框架下，可以使用各种回归分类模型来构建弱学习器，非常灵活。
3. 作为简单的二元分类器时，构造简单，结果可理解。
4. 不容易发生过拟合

3.2、Adaboost的主要缺点

    对异常样本敏感，异常样本在迭代中可能会获得较高的权重，影响最终的强学习器的预测准确性。

Adaboost前向分步学习算法推导