线性代数归纳（一）

一、行列式

（1）一、二阶行列式展开式：

1.
2

（2）n阶行列式：

n阶行列式展开式：

其中，Aij = (-1)^(i+j) *Mij, Aij称为n阶行列式Dn的代数余子式，而Mij则为n阶行列式Dn去掉第i行第j列的元素后剩下元素所构成的行列式。

（3）特殊行列式归纳：

1.对角行列式：只有在对角线上有元素，且不全为0，这样的行列式我们称为对角行列式。

对角行列式的计算：为对角线的所有元素的乘积，以下为证明过程

其一：

其二：

2.上下三角行列式：

上下三角行列式的计算，与对角行列式一样，也是对角线各元素相乘的结果

证明过程：

3.一个重要的行列式：

（4）行列式性质：

1.行列式与它的转置行列式结果一样。

2.上下三角行列式的结果为对角线各元素乘积。

3.n阶行列式的结果等于任何一行所有元素与其对应的代数余子式乘积之和。

4.n阶行列式中任意一行(列)的元素与另外一行(列)的相应元素的代数余子式的乘积之和等于零。即当i≠k时，有：

5.行列式中某一行元素的公因子可以提出来。

注：与 矩阵不同，矩阵是所有元素的公因子提取出来，而行列式仅仅是一列或一行。

6.行列式中某一行元素可以为两数之和，则可以分为两个行列式相加

如：

7.将行列式某一行或某一列元素都乘以同一个数值k，再加到某一行或某一列元素上，则该行列式结果不变。

8.一特殊行列式计算：

9.几种行列式计算技巧：

（1）加边法：将n阶行列式变为n+1阶行列式，且结果不变，再利用行列式的性质进行加减运算。
（2）递推法，通过先将一行行列式展开，发现规律，并总结规律。
（3）数学归纳法，先由第一二阶行列式发现规律，再利用数学归纳法证明。
（4）化零降阶法，将原有行列式通过行列式的性质化为上下三角行列式，进行对角运算。
（5）n阶范德蒙德行列式

（5）克拉默法则：

1.对于一线性方程组，所有系数所构成的行列式，我们称之为 系数行列式 ，且系数行列式若结果不为0，则说明该线性方程组一定有唯一解。

其解为：

其中

2.若某线性方程组的所有结果都为0，则该线性方程组称为齐次线性方程组

它有这么几个性质：若齐次线性方程组的系数行列式≠0，那么它只有唯一解–0解。若齐次线性方程组的系数行列式=0，那么它有非零解。

参考文献：线性代数第4版（钱椿林主编）