更新过程（renewal process）

1. 更新过程

更新过程（renewal process）是一类随机过程，是描述元件或设备更新现象的一类随机过程。

设对某元件的工作进行观测。假定元件的使用寿命是一随机变量，当元件发生故障时就进行修理或换上新的同类元件，而且元件的更新是即时的(修理或更换元件所需的时间为零)。如果每次更新后元件的工作是相互独立且有相同的寿命分布，令N(t)为在区间(0，t]中的更新次数，则称计数过程{N(t)，t≥0}为更新过程。

1.1 N(t)的分布

1.2 更新过程分类

在数学上更新过程可简单地定义为相邻两个点事件(即更新)的间距是相互独立同分布(但从原点到第一次更新的间距T1可以有不同分布)的计数过程。
根据T1的分布情形更新过程分为以下三类：

• 普通更新过程
• 延迟更新过程
• 平衡更新过程

更新过程也可用过程的事件间距序列{Tn，n≥1}给定，这时N(t)和Tn有如下关系：

其中

是第n次更新时间(n≥1，再定义S0＝0)。

对于普通更新过程，Sn是n个相互独立同分布的非负随机变量之和，因此在数学上更新过程也可以看做是一类特殊的独立随机变量和。

1.2.1 普通更新过程（ordinary renewal process）

一类特殊的延迟更新过程。

指所有更新间距T1，T2，T3，…都具有相同分布的更新过程，有时也简称更新过程。

1.2.2 延迟更新过程（delayed renewal process）

亦称变形更新过程。一种更新过程，指允许第一个更新间距T1(即从原点到第一次更新的间距)的分布G和其后的更新间距T2，T3，…的(共同)分布F相异的更新过程。

这类过程产生的背景和得名的原因如下：设想对一个元件更新模型开始观测的时刻t=0并不恰好是一个新元件开始工作的时刻，因而过程第一个元件的寿命(从开始观测时算起)分布G和新元件的寿命分布F一般是不相同的。由于在上述模型中是当一个元件已经工作了一段时间才开始观测的，所以人们称之为延迟更新过程。因为普通更新过程和平衡更新过程都可看做延迟更新过程的特殊情形，故也有人把延迟更新过程称为一般更新过程。

1.2.3 平衡更新过程（equilibrium renewal process）

一类特殊的延迟更新过程。它的第一个更新间距T1有分布

这里A(t)和Y(t)分别是过程在时刻t的年龄和剩余寿命(参见“年龄”和“剩余寿命”)。

1.2.4 交替更新过程（alternating renewal process）

如果考虑更换时间，即考虑机器的开与关两种状态，称作交替更新过程。设系统最初是开的，持续时间是Z1，而后关闭，时间是Y1，之后再打开，时间为Z2，又关闭，时间为Y2……交替进行。假设（Zn，Yn）,n>=1是独立同分布的。

一类特殊的两状态马尔可夫更新过程。其特征是两类型的更新区间交替出现。确切地说，交替更新过程就是非负随机向量序列{(Zn，Yn)，n≥1}，其中各(Zn，Yn)是独立同分布的(因而随机变量序列{Zn}和{Yn}也各自是独立同分布的)，但Zn和Yn(对于任一正整数n)可以是相依的。在元件更新模型中，若更新时间不恒等于零而是一个随机变量，令Zn和Yn分别表示第n个元件的使用寿命和它的更新时间，人们就得到一个交替更新过程(参见“马尔可夫更新过程”)。

1.2.5 一些说明

所谓更新过程就是更新

间隔虽然是i.i.d 但是可以服从一般分布（包括指数分布）的泊松计数过程。
我们一般把更新过程的更新间隔的均值命名为 μ \mu μ，把更新过程的均值命名为更新函数m(t)。
1 / μ 1/\mu 1/μ我们称为更新速率。

1.3 更新定理

1.3.1 更新基本定理：

更新数与时间之比趋近于更新速率。
另外更新函数与时间之比也趋近于更新速率。
这里的趋近是说当时间趋于无穷的时候。

1.3.2 关键更新定理：

一个黎曼可积的函数与更新函数的增量的卷积等于该函数在正区间的积分乘以更新速率。
定义：格点更新过程：更新只在一个正数的正整数（周期）的倍数时刻发生的更新过程。否则叫做非格点的更新过程。
非格点的更新过程有如下定理：
非格点的更新过程的差分与时间之比趋近于更新速率。
格点的更新过程有如下定理：
在极限时刻发生的更新数与周期之比趋近于更新速率。

所以可以看出更新过程的定理基本都是和更新基本定理类似的。
但是最有用的定理还是关键更新定理。

1.4 补充一些

更新函数是n个更新间隔的和的分布的（对n的）累加。

d m ( y ) dm(y) dm(y)是更新发生在 ( y , y + d y ) (y,y+dy) (y,y+dy)期间的概率。

F ( t − y ) d y F(t-y)dy F(t−y)dy是更新间隔大于t-y的概率。

所以 d m ( y ) F ( t − y ) d y dm(y)F(t-y)dy dm(y)F(t−y)dy就是 d F S N ( t ) dF_{S_{N(t)}} dFSN(t)​​的概率，也就是第N(t)个更新发生在t时刻的概率。

我们定义，在t时间内发生了 N ( t ) N(t) N(t)个更新，那么 S N ( t ) S_{N(t)} SN(t)​（即第N(t)个更新发生的时刻）与t的时间差叫做“零件”的年龄。把 S N ( t ) + 1 S_{N(t)+1} SN(t)+1​（即第 N ( t ) + 1 N(t)+1 N(t)+1个更新发生的时刻）与t的时间差叫做“零件”的剩余寿命。

“零件”的年龄和剩余寿命在时间趋于无穷大的时候有相同的分布，且都等于 i n t 0 t F ( y ) d y / μ int_{0}^{t}F(y)dy/\mu int0t​F(y)dy/μ

1.5 更新过程的推广

1.5.1 交错更新过程：

就是忙时和停时更替进行的一种更新过程，我们把一个忙时和紧接着的一个停时叫做一个循环。
则机器在时刻t是处于忙时的概率（随时间）趋近于

E Z n / ( E Z n + E Y n ) = E Z n / E X n E{Z_{n}}/(E{Z_{n}}+E{Y_{n}})=E{Z_{n}}/E{X_{n}} EZn​/(EZn​+EYn​)=EZn​/EXn​

这里 X n X_{n} Xn​表示第n个循环的长度。 Z n Z_{n} Zn​表示第n个忙时的长度。 Y n Y_{n} Yn​表示第n个停时的长度。

1.5.2 延迟更新过程：

也称为一般更新过程，就是初次间隔并不和其后的间隔分布相同。
前面出现过的这个分布函数： i n t 0 t F ( y ) d y / m u int_{0}^{t}F(y)dy/mu int0t​F(y)dy/mu称为平衡分布函数。

如果首次间隔分布服从平衡分布函数，则这样的一般更新过程，就称为平衡更新过程。

1.5.3 酬劳更新过程：

如果每次更新有一次酬劳（酬劳也可以是penalty，也就是说酬劳可以为负），那么这样的更新过程叫做酬劳更新过程。
每次的酬劳，我们记为R_{n}，并用R(t)记直到t时刻的所有酬劳之和。

那么有如下和基本更新定理类似的定理：
R ( t ) / t R(t)/t R(t)/t（总酬劳的平均） 趋近于平均一个更新间隔内的平均酬劳。
或者总酬劳的均值的平均趋近于平均一个更新间隔内的平均酬劳。
这里的趋近于都是时间上趋近无穷大的涵义下。

排队论可以说是最重要的定理：

更新过程的来到率：定义为更新间隔的均值的倒数也就是更新速率。记为 λ \lambda λ。

则排队论的重要定理可以叙述为：
系统中（按时间）的平均人数等于来到率（更新速率）乘以每个顾客在系统中度过的时间。
或者排队中（按时间）的平均人数等于来到率（更新速率）乘以每个顾客在排队中度过的时间。
因为来到率是更新间隔的倒数，所以，至少在单位上，是不成问题的。也比较容易理解。

1.6 再生过程(regenerative process)

再生过程是说，存在一个时刻，在这个时刻之后，系统又从0时刻开始重复。

系统可以处于很多状态上，两个时刻之间算一个循环。

与交错（交替）更新过程类似：
系统处于第j个状态上的概率（在时间上）趋近于在一个更新间隔（循环）的均值时间内，系统处于状态j的时间的均值。即处于状态j的时间的均值比一个更新间隔（循环）的均值。

1.7 平稳点过程：

顾名思义，平稳点过程就是一个具有平稳增量的计数过程。

平稳点过程的重要定理如下：
平稳点过程计数N(t)大于0的概率与时间（t）之比等于一个正数。
也就是说平稳点过程N(t)的期望均值等于时间（t）乘以更新速率。

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