nlnl ：表示网络的层数，第一层为输入层 
 slsl ：表示第l层神经元个数 
  f(·) ：表示神经元的**函数 
  W(l)∈Rsl+1×slW(l)∈Rsl+1×sl：表示第l层到第l+1层的权重矩阵 
  b(l)∈Rsl+1b(l)∈Rsl+1：表示第l层到第l+1层的偏置 
  z(l)∈Rslz(l)∈Rsl ：表示第l层的输入，其中zi(l)zi(l)为第l层第i个神经元的输入 
  a(l)∈Rsla(l)∈Rsl ：表示第l层的输出，其中ai(l)ai(l)为第l层第i个神经元d的输出

2. 向前传播

下图直观解释了层神经网络模型向前传播的一个例子，圆圈表示神经网络的输入，“+1”的圆圈被称为偏置节点。神经网络最左边的一层叫做输入层，最右的一层叫做输出层。中间所有节点组成的一层叫做隐藏层。 

每个神经元的表达式如下： 

前向传播的步骤如下： 
z(l)=W(l−1)a(l−1)+b(l−1)a(l)=f(z(l))⎫⎭⎬⎪⎪⇒z(l)=W(l−1)f(z(l−1))+b(l−1)z(l)=W(l−1)a(l−1)+b(l−1)a(l)=f(z(l))}⇒z(l)=W(l−1)f(z(l−1))+b(l−1)

3. 反向传播算法推导过程

(1)目标函数

给定一个包含m个样本的训练集，目标函数为：

J(W,b)=1m∑mi=1J(W,b;x(i),y(i))+λ2∥W∥22J(W,b)=1m∑i=1mJ(W,b;x(i),y(i))+λ2∥W∥22

 =1m∑mi=1(12∥h(x(i))−y(i))∥22)+λ2∑nl−1l=1∑sli=1∑sl+1j=1(Wji(l))2 =1m∑i=1m(12∥h(x(i))−y(i))∥22)+λ2∑l=1nl−1∑i=1sl∑j=1sl+1(Wji(l))2

采用梯度下降方法最小化J(W,b)， 参数更新方式如下：

Wnew(l)=W(l)−α⋅∂J(W,b))∂W(l)Wnew(l)=W(l)−α⋅∂J(W,b))∂W(l)

 =W(l)−α∑mi=1∂J(W,b;x(i),y(i))∂W(l)−λW =W(l)−α∑i=1m∂J(W,b;x(i),y(i))∂W(l)−λW

bnew(l)=b(l)−α⋅∂J(W,b))∂b(l)bnew(l)=b(l)−α⋅∂J(W,b))∂b(l)

   =b(l)−α∑mi=1∂J(W,b;x(i),y(i))∂b(l)   =b(l)−α∑i=1m∂J(W,b;x(i),y(i))∂b(l)

因此，参数更新的关键在于计算 ∂J(W,b;x,y）∂W(l)∂J(W,b;x,y）∂W(l)和∂J(W,b;x,y）∂b(l)∂J(W,b;x,y）∂b(l)

(2)计算∂J(W,b;x,y）∂W(l)∂J(W,b;x,y）∂W(l)

根据链式法则可得：

∂J(W,b;x,y）∂W(l)=(∂J(W,b;x,y）∂z(l+1))T∂z(l+1)∂W(l)∂J(W,b;x,y）∂W(l)=(∂J(W,b;x,y）∂z(l+1))T∂z(l+1)∂W(l)

其中，∂z(l+1)∂W(l)=∂[W(l)⋅a(l)+b(l)]∂W(l)=a(l)∂z(l+1)∂W(l)=∂[W(l)⋅a(l)+b(l)]∂W(l)=a(l)

定义残差为： δ(l)=∂J(W,b;x,y）∂z(l)δ(l)=∂J(W,b;x,y）∂z(l)

对于输出层（第nlnl层），残差的计算公式如下：（其中，f(z(nl))f(z(nl))是按位计算的向量函数，因此其导数是对角矩阵）

δ(nl)=∂J(W,b;x,y）∂z(nl)δ(nl)=∂J(W,b;x,y）∂z(nl)

   =∂12∥h(x)−y)∥22∂z(nl)   =∂12∥h(x)−y)∥22∂z(nl)

   =∂12∥f(z(nl))−y)∥22∂z(nl)   =∂12∥f(z(nl))−y)∥22∂z(nl) 
   =(a(nl)−y)⋅diag(f′(z(nl)))   =(a(nl)−y)⋅diag(f′(z(nl)))

   =(a(nl)−y)⊙f′(z(nl))   =(a(nl)−y)⊙f′(z(nl))

对于网络其它层，残差可通过如下递推公式计算： 
δ(l)=∂J(W,b;x,y）∂z(l)δ(l)=∂J(W,b;x,y）∂z(l)

  =∂a(l)∂z(l)∂z(l+1)∂a(l)∂J(W,b;x,y）∂z(l+1)  =∂a(l)∂z(l)∂z(l+1)∂a(l)∂J(W,b;x,y）∂z(l+1)

  =∂f(z(l))∂z(l)⋅∂[W(l)a(l)+b(l)]∂a(l)⋅δ(l+1)  =∂f(z(l))∂z(l)⋅∂[W(l)a(l)+b(l)]∂a(l)⋅δ(l+1) 
  =diag(f′(z(l)))⋅(W(l))T⋅δ(l+1)  =diag(f′(z(l)))⋅(W(l))T⋅δ(l+1) 
  =f′(z(l))⊙(W(l))Tδ(l+1)  =f′(z(l))⊙(W(l))Tδ(l+1)

(3)计算∂J(W,b;x,y）∂b(l)∂J(W,b;x,y）∂b(l)

与(2)计算过程同理

∂J(W,b;x,y）∂b(l)=∂z(l+1)∂b(l)∂J(W,b;x,y）∂z(l+1)∂J(W,b;x,y）∂b(l)=∂z(l+1)∂b(l)∂J(W,b;x,y）∂z(l+1)

 =∂[W(l)⋅a(l)+b(l)]∂b(l)δ(l+1) =∂[W(l)⋅a(l)+b(l)]∂b(l)δ(l+1)

 =δ(l+1) =δ(l+1)

综上所述：

∂J(W,b;x,y）∂W(l)=(δ(l+1))Ta(l)∂J(W,b;x,y）∂W(l)=(δ(l+1))Ta(l)

∂J(W,b;x,y）∂b(l)=δ(l+1)∂J(W,b;x,y）∂b(l)=δ(l+1)

反向传播算法的含义是：第l 层的一个神经元的残差是所有与该神经元相连的第l+ 1 层的神经元的残差的权重和，然后在乘上该神经元**函数的梯度。

4. 反向传播算法流程

借网上一张图，反向传播算法可表示为以下几个步骤：