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整型数据类型

字节(byte)是计算机文件大小的基础单位,
位(bit)是计算计算机运算的基础.
1个字节由八个二进制组成,能表示0~255值的范围

整型数据类型在32/64位程序取值范围不同,具体如图所示:

无符号数的编码

定义：假设对于一个w位的无符号整数，用二进制比特位可以表示为[$x_{w-1}$xw−1​ , $x_{w-2}$xw−2​ , … ,$x_2$x2​ , $x_1$x1​ , $x_0$x0​]。那么我们可以用一个函数表示如下：

使用示例如下:

我们也就可以得知能表示的最大值为:
$UMax_w\doteq$UMaxw​≐$\displaystyle\sum_{i=0}^{w-1}$i=0∑w−1​$2^i$2i=$2^w-1$2w−1

补码编码

同样的,补码编码定义有:
对向量$\vec{x}=[x_{w-1} , x_{w-2} , … ,x_2 , x_1 , x_0]$x=[xw−1​,xw−2​,…,x2​,x1​,x0​]:
$B2T_w(\vec{x})\doteq-x_{w-1}2^{w-1}+\displaystyle\sum_{i=0}^{w-2}$B2Tw​(x)≐−xw−1​2w−1+i=0∑w−2​$2^i$2i
使用示例如下:

我们就可以得知能表示的最大值为:
$TMax_w\doteq\displaystyle\sum_{i=0}^{w-2}2^i=2^{w-1}-1$TMaxw​≐i=0∑w−2​2i=2w−1−1
最小值有:
$TMin_w\doteq-2^{w-1}$TMinw​≐−2w−1.

值得说明的是无论是无符号编码还是有符号编码全部都具有唯一性.

反码

除最高有效位为的权是$-(2^{w-1}-1)$−(2w−1−1)而不是$-2^{w-1}$−2w−1,其余和补码是一样的:
$B2O_w(\vec{x})\doteq-x_{w-1}(2^{w-1}-1)+\displaystyle\sum_{i=0}^{w-2}x_i2^i$B2Ow​(x)≐−xw−1​(2w−1−1)+i=0∑w−2​xi​2i
(过去机器基于反码表示,但几乎所有的现代机器都使用补码了)

原码

最高有效位是符号位:
$B2S_w(\vec{x})\doteq(-1)^{x_{w-1}}*(\displaystyle\sum_{i=0}^{w-2}x_i2^i)$B2Sw​(x)≐(−1)xw−1​∗(i=0∑w−2​xi​2i)
(浮点数中使用原码编码)

有符号数和无符号数之间的转换

补码转换为无符号数

我们推导一下补码到无符号的转化，我们先将无符号编码和补码编码的公式相减，
有
$B2U_w(\vec{x}) - B2T_w(\vec{x}) = x_{w-1}2^{w-1} - (-x_{w-1}2^{w-1}) = x_{w-1}2^w$B2Uw​(x)−B2Tw​(x)=xw−1​2w−1−(−xw−1​2w−1)=xw−1​2w

即
$B2U_w(\vec{x}) = x_{w-1}2^w + B2T_w(\vec{x})$B2Uw​(x)=xw−1​2w+B2Tw​(x)

令x为T2Bw(x)，有:
　　$B2U_w(T2B_w(\vec{x}) = x_{w-1}2^w + B2T_w(T2B_w(\vec{x})) = x+x_{w-1}2^w +$B2Uw​(T2Bw​(x)=xw−1​2w+B2Tw​(T2Bw​(x))=x+xw−1​2w+

即有:
　　$T2U_w(\vec{x}) = x_{w-1}2^w + x$T2Uw​(x)=xw−1​2w+x

又$x_w-1$xw​−1大于等于0时，则补码编码为正数，此时$T2U_w(\vec{x}) = x$T2Uw​(x)=x 。

综上有
　　

无符号数转换为补码

同样的,我们先将无符号编码和补码编码的公式相减，
有
$B2U_w(\vec{x}) - B2T_w(\vec{x}) = x_{w-1}2^{w-1} - (-x_{w-1}2^{w-1}) = x_{w-1}2^w$B2Uw​(x)−B2Tw​(x)=xw−1​2w−1−(−xw−1​2w−1)=xw−1​2w

即
$B2T_w(\vec{x})= B2U_w(\vec{x})-x_{w-1}2^w$B2Tw​(x)=B2Uw​(x)−xw−1​2w
令u为U2Bw(u)，则 $B2T_w(U2B_w(\vec{u}))=B2U_w(U2B_w(\vec{u})) - u_{w-1}2^w = u - u_{w-1}2^w$B2Tw​(U2Bw​(u))=B2Uw​(U2Bw​(u))−uw−1​2w=u−uw−1​2w
即
$U2T_w(u)=u - u_{w-1}2^w$U2Tw​(u)=u−uw−1​2w
而位$u_{w-1}$uw−1​决定是否大于$TMax_w=2^{w-1}-1$TMaxw​=2w−1−1,
即可得:

　　

扩展一个数字的位表示

零扩展

将一个无符号数转换为一个更大的数据类型,我们只需简单的在开头加$0$0即可.

符号扩展

将补码数字转换为一个更大的数据类型
在开头加上符号位即可.

截断数字

截断无符号数

截断为k位有$B2U_k([x_{k-1},x_{k-2},...,x_0])$B2Uk​([xk−1​,xk−2​,...,x0​])=$B2U_w([x_{w-1},x_{w-2},...,x_0])$B2Uw​([xw−1​,xw−2​,...,x0​]) mod $2^k$2k

截断补码

与截断无符号数相同只不过要将最高位转换为符号位.
截断为k位有
$B2T_k([x_{k-1},x_{k-2},...,x_0])$B2Tk​([xk−1​,xk−2​,...,x0​])=$U2T_k$U2Tk​($B2U_w([x_{w-1},x_{w-2},...,x_0])$B2Uw​([xw−1​,xw−2​,...,x0​]) mod $2^k)$2k)