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高斯-赛戴尔（Gauss-Seidel）迭代法及算法实现

2018年05月11日 20:26:00 森先生 阅读数：3135

1、高斯-赛戴尔迭代法的定义以及表达形式

以下列方程组为例：

      在雅克比迭代法中，并没有对新算出的分量进行充分利用，一般来说，这些新算出计算的结果要比上一步计算的结果精确。对上式第二个方程组，第一行式子算出的x值立即投入第二行方程里，第二行式子的结果算出后投入第三行方程中，直到第n个方程。

      根据这种思路建立的迭代格式，就是高斯-赛戴尔迭代法。

2、收敛条件

迭代格式如下：

其中：

下面为一些定理：

3、误差定义

4、程序流程图

5、程序

1. #include<iostream>

2. #include<math.h>

3. using namespace std;

4.  

5. const int n=3;

6. void Gauss_Seidel();

7. double A[n][n]={{8,-3,2},

8. {4,11,-1},

9. {2,1,4},

10. };

11. // 系数矩阵A 对称正定 则迭代公式收敛

12. // 系数矩阵A 严格对角占优，则：A非奇异，迭代法收敛。

13. float B[n] = {20,33,12};

14. // 常数项

15.  

16. int main() //主函数

17. {

18. Gauss_Seidel();

19. }

20.  

21. void Gauss_Seidel() //高斯-赛戴尔迭代法函数

22. {

23. double X[n]={0,0,0};

24. for (int k=0;k<1000;k++){ //最大迭代次数为1000

25. for(int i=0;i<n;i++) { //双重for循环遍历数组

26. double sum=0;

27. for(int j=0;j<n;j++){

28. if(j==i)

29. continue; //跳过

30. else

31. sum+=A[i][j]*X[j]; // 否则 矩阵和新算出的 进行运算

32. }

33. X[i]=(B[i]-sum)/A[i][i]; ///计算完新的x[i],旧的x[i]会被自然冲掉

34. }

35. }

36.  

37. cout<<"系数矩阵为："<<endl;

38. for (int i=0;i<n;i++){

39. for(int j=0;j<n;j++) {

40. cout<<A[i][j];

41. cout<<'\t';

42. }

43. cout<<B[i];

44. cout<<endl;

45. }

46.  
47.  

48. cout<<"迭代结果："<<endl;

49. for (int i=0;i<n;i++) //输出结果

50. {

51. cout<<X[i];

52. cout<<endl;

53. }

54. }

 

6、运行结果