特征方程及其应用

• 首先我们了解一些概念。
• 递推式：代入fn−1或/与fn−2之类的数列前几项，可以求出fn的式子。
• 通项公式：代入n就可以求出fn的式子。

• 下面请上我们的老朋友：
• fn+2=fn+1+fn
• 这个递推式是不是很眼熟？斐波那契数列。
• 如果我们要求数列第n项应该怎么做？
• 弱鸡（我）：暴力递推
• 稍微有趣：矩阵乘法+快速幂（具体做法可以参考我的这篇文章）
• 更加牛逼：用通项公式。
• 从数列推出通项公式，就需要我们今天讲的内容：特征方程。
• 从数列推出通项公式的要求：
• 1.已知数列的递推式
• 2.已知数列的任意两项

• 举个栗子：
• 现在我们知道有一个数列的递推式为an+2=5an+1−6an，且知道a1=3，a2=8，需要求出它的通项公式。
• 将递推式中an+p替换为xp后得到的方程，即为特征方程。
• an+2=5an+1−6an >> x2=5x−6
• an+2 >> x2
• 5an+1 >> 5x
• −6an >> −6
• 解特征方程，得x1=2，x2=3
• 将特征方程的两个根分别作为一个等比数列fn=an−1的a也就是比值，我们可以得到两个等比数列：
• fn=2n−1
• gn=3n−1
• 这里有一个性质，数列fn与gn满足递推式时，数列k1fn+k2gn同样满足递推式。数列加法就是每项相加。
• 于是因为k1fn+k2gn满足递推式an+2=5an+1−6an，我们可以得到式子an=k12n−1+k23n−1。
• 所以我们可以得到一个方程组：
• n=1时为a1=k1+k2
• n=2时为a2=2k1+3k2
• 又因为我们知道a1=3，a2=8，所以代入得方程组
• 3=k1+k2
• 8=2k1+3k2
• 解方程组，得k1=1，k2=2
• 代入回原式子an=k12n−1+k23n−1
• 得an=2n−1+2⋅3n−1
• 此即为递推式为an+2=5an+1−6an的数列的通项公式。

能不能简洁一点？