常系数线性差分方程的求解

感谢大家的点赞和评论！在这里统一向各位说声抱歉，我把这个解答称为初等方法确实不够严谨，看似初等的方法里面实际上隐藏了并不初等的概念。确切地说，如果要正确理解下面这个等式

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需要一些形式幂级数环的简单知识（包括环的概念，环中可逆元的概念）。

因为考虑的是形式幂级数，在向形式变元代入具体的数之前并不牵涉收敛性问题，也无需使用泰勒展开等工具。因此，我仍然认为这是一个中学生可以接受的解答，再加上生成函数非常有价值，应该介绍给大家。

至于“初等”与“高等”之争，我认为是一件好事，因为大家所熟知的初等数学里，也有很多事情需要借助高等数学的知识才能说清楚，而我们国家的中学数学教材与大学数学教材其实脱节很严重。但状况并不应该如此，中学数学里的内容有一些非常有趣而深刻的背景可以挖掘出来，而不是只教大家做题。最近在对这方面的内容做一个梳理和总结，系列文章

奇葩数学史 - 知乎专栏 新鲜上线，希望大家多提意见！

以下是原答。

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纯手工初等方法。记斐波那契数列第项为，则。

构造一个与有关的幂级数

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这个函数被称为斐波那契数列的生成函数，因为它的幂级数展开完全决定了 ，展开式中的系数就是斐波那契数列的第项。

对于一般数列的生成函数，我们暂且按下不表，先来看看有没有办法求这个特殊的。我们没有别的选择，唯一的条件是，这个等式应该能够诱导出一个满足的方程。

确实如此，是的系数，和则分别是和的系数，要想让它们匹配在一起，就要想办法让它们对应同一个。这其实很容易办到，中的系数就是，同理， 中的系数就是。

于是，中的所有高于的幂次前的系数都变成了，只剩下了。从而

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如果你能把 展开成幂级数的形式，就自然求出了斐波那契数列的通项。

现在，让我们回忆一个中学里十分常用的技巧

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这件事情的本质是将分母中的多项式作因式分解，将分母含有二次项的分式转换成分母只含一次项，而分母只含一次项的分式很容易写成幂级数

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回到 ，我们可以用待定系数法完成上面的过程，设

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于是

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我们得到一个四元方程组

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这个方程组的难度只能称为小喽喽级别，凭借后两个方程解出

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代入到前两个方程中即得 ， 。

所以

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蕴含了斐波那契数列的通项为

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看起来不太像整数，但确实如此。

生成函数是处理数列的常用工具，是离散走向连续的桥梁，很多人们关心的离散信息都复刻在这样一条DNA上。你们一定很奇怪我在定义时用的自变量是而不是，事实上我想通过这种方式提醒大家无穷展开的广泛性，当被某种具有周期性的基本函数替代时，我们就得到了傅立叶展开。作为著名的费马大定理证明核心的谷山－志村－韦伊猜想说的就是某种刻画了椭圆曲线模点个数信息的生成函数可以与模形式的傅立叶展开对应起来，有机会再跟大家详聊。

以上。