基于贝叶斯准则的状态概率更新

$\quad$基于贝叶斯准则表达获取测量值后的状态概率更新
$\qquad$首先关于$Z=z$Z=z的贝叶斯准则，只要$p(y|z)>0$p(y∣z)>0：
$p(x|y,z)=\frac{p(y|x,z)p(x|z)}{p(y|z)}$p(x∣y,z)=p(y∣z)p(y∣x,z)p(x∣z)​

$\qquad$由概率生成法则可得在获取测量值后状态概率的更新(目标后验)表达式
$p(x_{t}|z_{1:t},u_{1:t})=p(x_{t}|z_{t},z_{1:t-1},u_{1:t})=\frac{p(z_{t}|x_{t},z_{1:t-1},u_{1:t})p(x_{t}|z_{1:t-1},u_{1:t})}{p(z_{t}|z_{1:t-1},u_{1:t})}$p(xt​∣z1:t​,u1:t​)=p(xt​∣zt​,z1:t−1​,u1:t​)=p(zt​∣z1:t−1​,u1:t​)p(zt​∣xt​,z1:t−1​,u1:t​)p(xt​∣z1:t−1​,u1:t​)​此时$z_{1:t-1},u_{1:t}$z1:t−1​,u1:t​看作上式的条件$Z$Z。
$\qquad$依据伯努利分布(Bernoulli distribution)建模，$\theta_{g}=1$θg​=1表示检测到目标，其概率使用$P_{i,k}(\theta_{g}=1)$Pi,k​(θg​=1)表示。$\theta_{g}=0$θg​=0表示未检测到目标，其概率使用$1-P_{i,k}(\theta_{g}=1)$1−Pi,k​(θg​=1)表示。
$\qquad$其中，$i$i表示第$i$i个机器人，$g$g表示概率密度栅格图中第$g$g个栅格，$k$k表示第$k$k个时间点。使用符号$\mathcal{P}_{i,g,k}$Pi,g,k​定义概率$P_{i,k}(\theta_{g}=1)$Pi,k​(θg​=1)。则测量更新表达式为：
$\mathcal{P}_{i,g,k}=\frac{P(Z_{i,g,k}|\theta_{g}=1)\mathcal{P}_{i,g,k-1}}{P(Z_{i,g,k}|\theta_{g}=1)\mathcal{P}_{i,g,k-1}+P(Z_{i,g,k}|\theta_{g}=0)(1-\mathcal{P}_{i,g,k-1})}$Pi,g,k​=P(Zi,g,k​∣θg​=1)Pi,g,k−1​+P(Zi,g,k​∣θg​=0)(1−Pi,g,k−1​)P(Zi,g,k​∣θg​=1)Pi,g,k−1​​$\qquad$使用伯努利分布建模后的测量更新与一般式的不同表现在$\color{#F00}{归一化常数\eta使用测量概率的全概率公式表示}$归一化常数η使用测量概率的全概率公式表示。