#LOJ10013 曲线（三分）

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题目描述

明明做作业的时候遇到了 n 个二次函数 Si(x)=ax^2 + bx + c，他突发奇想设计了一个新的函数 F(x)=max⁡{Si(x)}，i=1…n。

#LOJ10013 曲线（三分）

明明现在想求这个函数在 [0,1000] 的最小值，要求精确到小数点后四位，四舍五入。

输入格式

输入包含 T 组数据，每组第一行一个整数n；

接下来 n 行，每行 3 个整数 a, b, c ，用来表示每个二次函数的 3 个系数。注意：二次函数有可能退化成一次。

输出格式

每组数据输出一行，表示新函数 F(x) 的在区间 [0,1000] 上的最小值。精确到小数点后四位，四舍五入。

样例

样例输入

样例输出

0.0000
0.5000

数据范围与提示

对于 50% 的数据，1≤n≤100；

对于 100% 的数据，1≤T≤10, 1≤n≤10^5, 0≤a≤100, 0≤∣b∣≤5000, 0≤∣c∣≤5000。

三分法适用于求解凸性函数的极值问题，二次函数就是一个典型的单峰函数。

设当前求解的区间为[l，r]，令 #LOJ10013 曲线（三分），，接着计算这两个点的函数值，之后将两点中函数值更优的那个点称为“好点”（若计算最小值，则f更小的那个点就为好点），而函数值较差的那个点称为“坏点”。

可以利用反证法证明：最优点和好点在坏点的同侧。

#LOJ10013 曲线（三分）

如图，f(m2)>f(m1)，最大值为最优点，因此m1是坏点，m2是好点，最优点与m2会位于m1同侧，求解区间由[l，r]变为[m1,r]。由此可以不停缩小求解区间，直至得出近似解。

如果函数不严格单调，三分法将不适用。

由于a大于等于0，函数S是开口向上的二次函数（当a=0时是一次函数），即S为先单调递减，后单调递增的下凸函数，或者是一次单调函数，F(x)=max⁡{Si(x)}也满足单调性。因此可用三分法求解[0,1000]内的最小值。

AC代码：

////****博客：https://blog.****.net/qq_40889820
#include<iostream>
#include<sstream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define e 2.71828182
#define Pi 3.141592654
#define INF 1<<30
using namespace std;
struct node
{
    double a,b,c;	
}quad[10010];
int n;
double fun(double x)//F(x)
{
	double ans=-INF;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	ans=max(ans,quad[i].a*x*x+quad[i].b*x+quad[i].c);
	return ans;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(NULL);cout.tie(NULL);
	int T;
	cin>>T;
	while(T--)
	{
		cin>>n;
		for(int i=1;i<=n;i++) cin>>quad[i].a>>quad[i].b>>quad[i].c;
		double l=0.0,r=1000.0;//[0,1000] 
		while(r-l>1e-11)
		{
			double mid1=l+(r-l)/3,mid2=r-(r-l)/3;
			if(fun(mid1)<fun(mid2))//mid1是好点
			r=mid2; 
			else l=mid1;
		}
		cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setprecision(4)<<fun(l)<<endl;
	}
}

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样例输出

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