机械振动基础

一、简谐振动

1. 简谐振动

   （1）简谐运动的定义：

   ①动力学定义

   物体受到线性恢复力作用：$F=-kx$F=−kx

   则：
   $m\frac{d^2x}{dt^2}={-kx}\\ 令\frac{k}{m}=\omega^2\\ \frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=0$mdt2d2x​=−kx令mk​=ω2dt2d2x​+ω2x=0
   ②动力学方程定义

   上式微分方程求解得到：
   $x=Acos(\omega{t}+\varphi)，其中A和\varphi为常数$x=Acos(ωt+φ)，其中A和φ为常数

2. 谐运动的振幅，周期，频率和相位

   （1）振幅：物体离开平衡位置的最大距离；取正值，反应振动的强度，由初始状况决定

   （2）周期和频率
   $周期：T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt\frac{m}{k}\\ 频率：v=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\\ 周期频率表示下的谐振动方程：x=Acos(\frac{2\pi}{T}t+\varphi)=Acos(2\pi{v}t+\varphi)$周期：T=ω2π​=2πkm​​频率：v=T1​=2π1​mk​​周期频率表示下的谐振动方程：x=Acos(T2π​t+φ)=Acos(2πvt+φ)

   （3）相位

   $\omega{t}+\varphi$ωt+φ称为相位，常量$\varphi$φ是t=0时的相位
   $时间：0\rightarrow{t}\\ 相位：0\rightarrow{2\pi}$时间：0→t相位：0→2π

3. 振动参量的确定

   (1)$\omega,T,v$ω,T,v：描写振动快慢的参量，由系统本身确定
   $弹簧振子：\omega=\sqrt{\frac{k}{m}},T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\\ 单摆：\omega=\sqrt{\frac{g}{l}},T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\\ 复摆：\omega=\sqrt{\frac{mgl}{J}},T=2\pi\sqrt{\frac{J}{mgl}}$弹簧振子：ω=mk​​,T=2πkm​​单摆：ω=lg​​,T=2πgl​​复摆：ω=Jmgl​​,T=2πmglJ​​
   (2)$A,\varphi$A,φ：描写振动状态，由初始条件决定
   $t=0时？\begin{cases} x_0=?\\ v_0=?\\ \end{cases}\\ 解出A和\varphi$t=0时？{x0​=?v0​=?​解出A和φ
   (3)推论：

   若振动系统除了受弹性力外，还受一恒力作用，则系统的振动规律不变，但坐标原点要取在新的平衡位置上

上述振动均为简谐振动，周期和角速度相同
$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}};T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ω=mk​​;T=2πkm​​
但平衡位置改变。

4. 谐振动的能量

   $E=E_k+E_p\\ x=Acos(\omega t+\varphi)\\ v=-A\omega sin(\omega t+\varphi)\\ E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mA^2\omega^2sin^2(\omega t+\varphi)\\ E_p=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}kA^2cos^2(\omega t+\varphi)\\ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$E=Ek​+Ep​x=Acos(ωt+φ)v=−Aωsin(ωt+φ)Ek​=21​mv2=21​mA2ω2sin2(ωt+φ)Ep​=21​kx2=21​kA2cos2(ωt+φ)ω=mk​​

   有上面推导可以得到：
   $E=E_k+E_p=\frac{1}{2}kA^2\\$E=Ek​+Ep​=21​kA2

   • $E∝A^2$E∝A2在简谐运动中普遍成立
   • 做一次全振动$E_k$Ek​和$E_p$Ep​转换2次（即：能量转换周期等于$\frac{1}{2}$21​振动周期）
   • 在一个周期内，平均动能和平均势能相等

5. 谐运动的旋转矢量表示法

   作图和表示不再赘述，注意求时间时，用下面的公式即可：
   $\frac{2\pi}{T}=\frac{\Delta{\varphi}}{\Delta{t}}$T2π​=ΔtΔφ​

• 利用相差比较两振动（同频）的步调是否一致
  $x_1=Acos(\omega t+\varphi_1)\\ x_2=Acos(\omega t+\varphi_2)\\$x1​=Acos(ωt+φ1​)x2​=Acos(ωt+φ2​)

$$
(\omega t+\varphi_1)-(\omega t+\varphi_1)=\varphi_2-\varphi_1=
\begin{cases}
2k\pi
(2k+1)\pi

0，x_2比x_1
<0，x_2比x_1
\end{cases}
$$

• 弹簧的串并联

  并联：$k=k_1+k_2$k=k1​+k2​

  串联：$k=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}$k=k1​+k2​k1​k2​​

  推论：n个相同的弹簧串联$k=\frac{k_0}{n}$k=nk0​​

  n个相同的弹簧并联：$k=nk_0$k=nk0​

6. 几种常见的谐振动

   (1)单摆
   $M=J\beta\\ -mglsin\theta=ml^2\frac{d^2\theta}{dt^2}\\ ∴\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{l}{\theta}=0\\ 令\omega^2=\frac{g}{l};则有\theta=\theta_Acos(\omega t+\varphi)\\ T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}};\theta_A为振幅，\varphi为初相$M=Jβ−mglsinθ=ml2dt2d2θ​∴dt2d2θ​+lg​θ=0令ω2=lg​;则有θ=θA​cos(ωt+φ)T=2πgl​​;θA​为振幅，φ为初相
   (2)复摆（物理摆）

二、谐运动的合成

两列波相遇，相遇区域的任意质点的振动是二振动的叠加

1、同方向，同频率的谐振动的合成

同方向指的是：同在x(y)轴上振动；

任意时刻，两个振动的位移分别是：
$x_1=A_1cos(\omega t+\varphi_1)\\ x_2=A_2cos(\omega t+\varphi_2)\\ x=x_1+x_2$x1​=A1​cos(ωt+φ1​)x2​=A2​cos(ωt+φ2​)x=x1​+x2​
经过变量替换后得到：
$x=Acos(\omega t+\varphi)$x=Acos(ωt+φ)
振幅和相位变换：
$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2(cos\varphi_2-cos\varphi_1)}\\ \varphi=arctan\frac{A_1sin\varphi_1+A_2sin\varphi_2}{A_1cos\varphi_1+A_2cos\varphi_2}\\ \omega不变$A=A12​+A22​+2A1​A2​(cosφ2​−cosφ1​)​φ=arctanA1​cosφ1​+A2​cosφ2​A1​sinφ1​+A2​sinφ2​​ω不变

$当\Delta\varphi=\begin{cases} 2k\pi时：同相合成A=A_1+A_2\\ (2K+1)\pi时：反相合成A=|A_1-A_2|\\ \end{cases}$当Δφ={2kπ时：同相合成A=A1​+A2​(2K+1)π时：反相合成A=∣A1​−A2​∣​

2.同方向不同频率的谐振动合成

(1)一般情况
$x_1=A_1cos(\omega_1 t+\varphi)\\ x_2=A_2cos(\omega_2 t+\varphi)\\ 设A_0=A_1=A_2;\varphi_1=\varphi_2=0(不影响结果的普适性)\\ x=x_1+x_2=2A_0cos(\frac{\omega_2-\omega_1}{2})t·cos(\frac{\omega_2+\omega_1}{2})t\\ 一般情况下不具有周期性，不是谐振动$x1​=A1​cos(ω1​t+φ)x2​=A2​cos(ω2​t+φ)设A0​=A1​=A2​;φ1​=φ2​=0(不影响结果的普适性)x=x1​+x2​=2A0​cos(2ω2​−ω1​​)t⋅cos(2ω2​+ω1​​)t一般情况下不具有周期性，不是谐振动
(2)特例：拍

当$|\omega_2-\omega_1|<<\omega_1+\omega_2$∣ω2​−ω1​∣<<ω1​+ω2​时，相减的那一项很缓慢。我们将振动方程变化为：
$A=|2A_1cos\frac{1}{2}(\omega_2-\omega_1)t|\\ x=Acos(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})t$A=∣2A1​cos21​(ω2​−ω1​)t∣x=Acos(2ω1​+ω2​​)t
所以：
$合振动振幅：A_{max}=2A_0\\ 合振动的圆频率：\omega=\frac{\omega_1+\omega_2}{2}$合振动振幅：Amax​=2A0​合振动的圆频率：ω=2ω1​+ω2​​
拍频 : 单位时间内合振动振幅强弱变化的次数，即
$v=|(\omega_2-\omega_1)/2\pi|=|v_2-v_1|$v=∣(ω2​−ω1​)/2π∣=∣v2​−v1​∣

3、相互垂直的谐振动的合成

(1)初相差$\Delta\varphi$Δφ为0，同相合成
$x=Asin\omega t\\ y=Bsin\omega t\\$x=Asinωty=Bsinωt
轨迹方程：$y=\frac{B}{A}x$y=AB​x

(2)初相差$\Delta\varphi$Δφ为$\pi$π，反相合成
$x=Asin\omega t\\ y=Bsin(\omega t+\pi)\\$x=Asinωty=Bsin(ωt+π)
(3)初相差为$\frac{\pi}{2}$2π​时，轨迹为一椭圆，顺时针转，初始位置在（0,B）

(4)初相差为$-\frac{\pi}{2}$−2π​时，轨迹为一椭圆，逆时针转,初始位置在(0,-B)

4、互相垂直频率不同的谐振动的合成

$x=Asin\omega t\\ y=Bsin(\omega t+\pi)\\$x=Asinωty=Bsin(ωt+π)
(3)初相差为$\frac{\pi}{2}$2π​时，轨迹为一椭圆，顺时针转，初始位置在（0,B）

(4)初相差为$-\frac{\pi}{2}$−2π​时，轨迹为一椭圆，逆时针转,初始位置在(0,-B)

4、互相垂直频率不同的谐振动的合成

横、纵边切点数比=纵、横方向振动频率之比