http://www.icourses.cn 南开大学《抽象代数》

$\color{blue}{\text{第一章 群}}$第一章 群

$\color{blue}{\text{\S}1.1 运算及关系 }$§1.1运算及关系

抽象代数的研究对象是代数体系，即带有运算的集合，例如群、环、域。本书假定读者已经了解集合与映射的基本知识，下面仅介绍一下映射的嵌入与开拓、映射的交换图以及直积集合的概念。
${\color{blue}{定义 1.1.1} \quad} 设A_0是集合A的非空子集，定义A_0到A的映射i如下$定义1.1.1设A0​是集合A的非空子集，定义A0​到A的映射i如下
$\qquad i(x) = x, \forall x \in A_0$i(x)=x,∀x∈A0​
$则i称为A_0到A的\color{blue}{嵌入映射}。$则i称为A0​到A的嵌入映射。

${\color{blue}定义 1.1.2 \quad }设A_0是集合A的非空子集，f是A_0到集合B的映射，若有A到B的映射g,使$定义1.1.2设A0​是集合A的非空子集，f是A0​到集合B的映射，若有A到B的映射g,使
$\qquad g(x) = f(x), \quad \forall x \in A_0.$g(x)=f(x),∀x∈A0​.
$则称g为f的{\color{blue}开拓映射},称f为g在A_0上的{\color{blue}限制映射},并记$则称g为f的开拓映射,称f为g在A0​上的限制映射,并记
$\qquad f = g | _{A_0}.$f=g∣A0​​.
直观上，开拓映射是把一个映射的定义域扩大；限制映射是把一个映射的定义域缩小。从这个意义上说，嵌入映射是把一个恒等映射值域所在的集合扩大。嵌入映射一定是单射，不一定是满射。开拓映射既不一定是单射，也不一定是满射。
${\color{blue}定义 1.1.3 \quad}一个映射如果能表成某几个映射的连续作用(也称映射的乘积)的结果，$定义1.1.3一个映射如果能表成某几个映射的连续作用(也称映射的乘积)的结果，
$又能表成另几个映射的连续作用的结果，例如有f_3f_2f_1 = g_2g_1,就可有下边的示意图:$又能表成另几个映射的连续作用的结果，例如有f3​f2​f1​=g2​g1​,就可有下边的示意图:

$则称上图为{\color{blue}映射的交换图}.$则称上图为映射的交换图.
${\color{blue}例1} \quad 设f是A_0到B的映射，A_0是A的子集，i是A_0到A的嵌入映射，g是A到B的映射，$例1设f是A0​到B的映射，A0​是A的子集，i是A0​到A的嵌入映射，g是A到B的映射，
$且g是f的开拓映射，则下面的图是交换图:即有g \cdot i = f。$且g是f的开拓映射，则下面的图是交换图:即有g⋅i=f。

${\color{blue}定义 1.1.4 \quad } 设A，B是两个集合，则称$定义1.1.4设A，B是两个集合，则称
$\qquad A \times B = \lbrace (a, b) | a \in A, b \in B \rbrace$A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}
$为A与B的{\color{blue}直积集合}$为A与B的直积集合
$类似的，可以定义有限多个(k个)集合的直积集合:$类似的，可以定义有限多个(k个)集合的直积集合:
$A_1 \times \cdots \times A_k = \lbrace (a_1, \cdots, a_k) | a_i \in A_i, i = 1, \cdots, k \rbrace$A1​×⋯×Ak​={(a1​,⋯,ak​)∣ai​∈Ai​,i=1,⋯,k}
我们要研究的是带有运算的集合，对于数集中的运算，例如加法和乘法运算，我们是熟悉的。他们的本质都在于，由数集中的一个元素，可以按照某种法则唯一地确定数集中的一个元素。在线性代数中我们又学习到线性空间中的“数乘”运算，其本质在于，由数集中的一个元素和向量集中的一个元素，按照某种法则，可以唯一地确定向量中的一个元素。
现在我们把上述本质抽象出来，利用集合、直积集合和映射的概念，来定义“代数运算”这一概念。
${\color{blue}定义1.1.5} 设A，B，D均是非空集合，则A \times B 到D的任一映射f，称为A与B到D的一个{\color{blue}代数运算}。$定义1.1.5设A，B，D均是非空集合，则A×B到D的任一映射f，称为A与B到D的一个代数运算。
$这就是说，若由a \in A, b \in B, 则(a, b) \in A \times B，f((a, b)) = d \in D，即a与b唯一地确定d，我们就说a与b运算的结果是d。$这就是说，若由a∈A,b∈B,则(a,b)∈A×B，f((a,b))=d∈D，即a与b唯一地确定d，我们就说a与b运算的结果是d。
$为简单，常记f((a,b))为a \circ b,于是上面的运算就写成 a \circ b = d。为了区别不同的运算法则，我们有时也把代数运算的符号“\circ”改记为“+”或“\times”，于是就有了$为简单，常记f((a,b))为a∘b,于是上面的运算就写成a∘b=d。为了区别不同的运算法则，我们有时也把代数运算的符号“∘”改记为“+”或“×”，于是就有了
$\qquad 3 + 5 = 8 和 3 \times 5 = 15$3+5=8和3×5=15
$的写法，也有了“加法”、“乘法”以及“数乘”等关于运算的叫法。在乘法或数乘等运算$的写法，也有了“加法”、“乘法”以及“数乘”等关于运算的叫法。在乘法或数乘等运算
$中，我们常常把符号“\circ”省去，记a \circ b 为ab。$中，我们常常把符号“∘”省去，记a∘b为ab。
${\color{blue}例2 \quad}设V是n维欧氏空间，\mathbb{R}是实数集，则求V中两个向量 \alpha, \beta 的内积，就是V与V到$例2设V是n维欧氏空间，R是实数集，则求V中两个向量α,β的内积，就是V与V到
$\mathbb{R}的一个代数运算。$R的一个代数运算。
${\color{blue}例3 \quad}设A=\lbrace 1, 2 \rbrace, B = \lbrace 1, 2 \rbrace, D = \lbrace 奇, 偶 \rbrace，f 是一个A \times B 到D的映射如下:$例3设A={1,2},B={1,2},D={奇,偶}，f是一个A×B到D的映射如下:
$\qquad (1, 1) \to 奇，(2, 2) \to 奇$(1,1)→奇，(2,2)→奇
$\qquad (1, 2) \to 奇，(2, 1) \to 偶$(1,2)→奇，(2,1)→偶
$它也是一个A与B到D的代数运算。$它也是一个A与B到D的代数运算。
$当A、B都是有限集合的时候，A与B到D的代数运算，我们常用一个表来说明，$当A、B都是有限集合的时候，A与B到D的代数运算，我们常用一个表来说明，
$叫做“运算表”。$叫做“运算表”。
$例3的运算表为 \qquad \begin{array}{l|c c} \circ & 1 & 2 \\ \hline 1 & 奇 & 奇 \\ \hline 2 & 偶 & 奇 \end{array}$例3的运算表为∘12​1奇偶​2奇奇​​
$(这里，竖行中的“1, 2”，指A中的元素；横行中的“1,2”，指B中的元素)$(这里，竖行中的“1,2”，指A中的元素；横行中的“1,2”，指B中的元素)
通常较多用到的代数运算，是A=B=D时的情形，即A与A到A的代数运算，也称为A中的“ ${\color{blue}二元运算}$二元运算 ” 或 “${\color{blue}运算}$运算”。此时也说“${\color{blue}集合A，对于该运算是封闭的}$集合A，对于该运算是封闭的”。一个集合中，可以有一种运算，也可以有多种运算。我们感兴趣的运算，常常是满足某种规律的运算，例如针对一种运算而言的结合律和交换律，针对两种运算而言的分配律。他们都是数集中相应运算规律的推广。
${\color{blue}定义1.1.6 \quad}设集合A中有一种二元运算 “\circ”，如果$定义1.1.6设集合A中有一种二元运算“∘”，如果
$\quad (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c), \quad \forall a, b, c \in A,$(a∘b)∘c=a∘(b∘c),∀a,b,c∈A,
$则称该运算满足{\color{blue}结合律}。$则称该运算满足结合律。
${\color{blue}定义1.1.7 \quad}设集合A有一种二元运算“\circ”，如果$定义1.1.7设集合A有一种二元运算“∘”，如果
$\quad a \circ b = b \circ a, \quad \forall a, b \in A$a∘b=b∘a,∀a,b∈A
$则称该运算满足{\color{blue}交换律}。$则称该运算满足交换律。
${\color{blue}定义1.1.8 \quad}设集合A中有两种代数运算“\circ”和“+”，如果$定义1.1.8设集合A中有两种代数运算“∘”和“+”，如果
$\quad a \circ (b + c) = a \circ b + a \circ c, \quad \forall a, b, c \in A,$a∘(b+c)=a∘b+a∘c,∀a,b,c∈A,
$则称该运算满足“{\color{blue}\circ 对 + 的左分配律}”，简称满足{\color{blue}左分配律}。$则称该运算满足“∘对+的左分配律”，简称满足左分配律。
$类似可定义右分配律，左右统称为分配律。$类似可定义右分配律，左右统称为分配律。
${\color{blue}例4 \quad} 设 \mathbb{Z}是全体整数的集合，\mathbb{Z}中的二元运算是数的减法,则该运算既不满足结合律,$例4设Z是全体整数的集合，Z中的二元运算是数的减法,则该运算既不满足结合律,
$也不满足交换律。$也不满足交换律。
${\color{blue}例5 \quad } 设\mathbb{C}^{n \times n} 是复数域上全体n(n \ge 2) 阶方阵的集合，\mathbb{C}^{n \times n} 中有两种运算，$例5设Cn×n是复数域上全体n(n≥2)阶方阵的集合，Cn×n中有两种运算，
$一种是矩阵的加法，一种是矩阵的乘法。加法运算即满足结合律，又满足$一种是矩阵的加法，一种是矩阵的乘法。加法运算即满足结合律，又满足
$交换律；乘法运算满足结合律，不满足交换律；乘法对加法满足分配律，$交换律；乘法运算满足结合律，不满足交换律；乘法对加法满足分配律，
$加法对乘法不满足分配律。$加法对乘法不满足分配律。
$结合律的一个重要作用是使表达式 a_1 \circ a_2 \circ \cdots \circ a_n 有意义，因为这时无论怎么$结合律的一个重要作用是使表达式a1​∘a2​∘⋯∘an​有意义，因为这时无论怎么
$样加括号，运算的结果都是一样的，这给我们带来了方便，抽象代数中研究的$样加括号，运算的结果都是一样的，这给我们带来了方便，抽象代数中研究的
$运算都满足结合律。$运算都满足结合律。
$交换律的一个重要作用是使等式 (ab)^n = a^n b^n 成立。抽象代数中研究的运算有的$交换律的一个重要作用是使等式(ab)n=anbn成立。抽象代数中研究的运算有的
$满足交换律，有的不满足交换律。$满足交换律，有的不满足交换律。
$分配律的一个重要作用是使一个集合中的两种元素之间产生一种联系。$分配律的一个重要作用是使一个集合中的两种元素之间产生一种联系。
抽象代数在研究集合时，有时要把集合分成一些子集来讨论。这时就要用到集合的分类，而集合的分类又和“等价关系”密切相关。为了讲清楚“等价关系”，我们先来介绍“关系”的概念。
我们知道实数集合“大于”、“小于”、“等于”这些关系，也知道n阶复方阵集合中“相等”、“相似”这些关系。下面我们把他们的本质抽象出来。
如果有一种性质R,使集合A中任意两个元素a,b,或者有性质R，或者没有性质R，二者必居其一，我们就说“${\color{blue}R给定了A中的一个关系}$R给定了A中的一个关系”。当a,b有性质R时，称a与b有关系，记为$aRb$aRb;当a,b没有性质R时，称a与b没有关系，记为$a {\cancel R} b$aR​b。
有性质R的a,b如果记为(a, b)，就是直积集合 $A \times A$A×A 中的一个元素，全体这样的(a, b),就构成了 $A \times A$A×A的一个子集，不妨把这个子集仍记为R，于是
$\qquad a R b \leftrightarrow (a, b) \in R.$aRb↔(a,b)∈R.
这样，我们就可以用$A \times A$A×A的一个子集，来刻画$A$A中的一个关系。
${\color{blue}定义1.1.9 \quad}设A是一个非空集合，R是A \times A的一个子集，a,b \in A,若(a,b) \in R,$定义1.1.9设A是一个非空集合，R是A×A的一个子集，a,b∈A,若(a,b)∈R,
$则称a与b有关系R,记为aRb,且称R为A的一个{\color{blue}关系}({\color{blue}二元关系})。在不致引起混淆$则称a与b有关系R,记为aRb,且称R为A的一个关系(二元关系)。在不致引起混淆
$时，aRb也可记为a \sim b。$时，aRb也可记为a∼b。
${\color{blue}例6 \quad}实数集\mathbb{R}中的“\leq ”关系，可以用\mathbb{R} \times \mathbb{R}中的子集R_1来刻画；实数集\mathbb{R}中的“=”关系，可以用\mathbb{R} \times \mathbb{R}中的子集R_2来刻画。$例6实数集R中的“≤”关系，可以用R×R中的子集R1​来刻画；实数集R中的“=”关系，可以用R×R中的子集R2​来刻画。

实数集中的“=”关系，可以总结推广为一般集合中的等价关系。
${\color{blue}定义1.1.10 \quad}若集合A的一个关系R满足$定义1.1.10若集合A的一个关系R满足
$① 反身性：aRa, \forall a \in A;$①反身性：aRa,∀a∈A;
$② 对称性：aRb \implies bRa, \forall a,b \in A;$②对称性：aRb⟹bRa,∀a,b∈A;
$③ 传递性：aRb, bRc \implies aRc, \forall a,b,c \in A.$③传递性：aRb,bRc⟹aRc,∀a,b,c∈A.
$则称关系R为A的一个{\color{blue}等价关系}。$则称关系R为A的一个等价关系。
${\color{blue}例7 \quad}实数集中的“\leq"关系不是等价关系，因为不满足对称性。$例7实数集中的“≤"关系不是等价关系，因为不满足对称性。
${\color{blue}例8 \quad}n阶复方阵集合中的“相合”是等价关系，“相似”也是等价关系。$例8n阶复方阵集合中的“相合”是等价关系，“相似”也是等价关系。
$可见，同一集合中可以有多种不同的等价关系。$可见，同一集合中可以有多种不同的等价关系。
${\color{blue}定义1.1.11 \quad} 若将集合A分成一些非空子集，每个子集称为A的一个类，$定义1.1.11若将集合A分成一些非空子集，每个子集称为A的一个类，
$使得A的每一个元素属于且仅属于一个类，则称这些类的全体为集合A$使得A的每一个元素属于且仅属于一个类，则称这些类的全体为集合A
$的一个{\color{blue}分类}，也称为A的一个{\color{blue}划分}。$的一个分类，也称为A的一个划分。
${\color{blue}定理1.1.1 \quad}{\color{green}集合A的一个分类决定A的一个等价关系。}$定理1.1.1集合A的一个分类决定A的一个等价关系。
${\color{blue}证 \quad}我们利用A的分类来定义A的一个关系R，然后证明R是等价关系。$证我们利用A的分类来定义A的一个关系R，然后证明R是等价关系。
$定义:当且仅当a与b同在一类时，aRb。据定义知这样的R是A的一个关系，$定义:当且仅当a与b同在一类时，aRb。据定义知这样的R是A的一个关系，
$又因为a \in A, a与a同在一类,所以R满足反身性；$又因为a∈A,a与a同在一类,所以R满足反身性；
$a,b \in A,若aRb,表明a与b同在一类，则b与a也同在一类，所以bRa,即R满足对称性;$a,b∈A,若aRb,表明a与b同在一类，则b与a也同在一类，所以bRa,即R满足对称性;
$a,b,c \in A,若aRb, bRc,表明a与b同在一类，b与c同在一类，则a与c同在一类,所以aRc，$a,b,c∈A,若aRb,bRc,表明a与b同在一类，b与c同在一类，则a与c同在一类,所以aRc，
$即R满足传递性。$即R满足传递性。
$据定义1.1.10，R是A的一个等价关系。$据定义1.1.10，R是A的一个等价关系。
在给出下一个定理之前，我们先给出由等价关系派生出来的三个概念:等价类，商集合和自然映射。
${\color{blue}定理1.1.1 \quad}{\color{green}集合A的一个分类决定A的一个等价关系。}$定理1.1.1集合A的一个分类决定A的一个等价关系。
${\color{blue}证 \quad}我们利用A的分类来定义A的一个关系R，然后证明R是等价关系。$证我们利用A的分类来定义A的一个关系R，然后证明R是等价关系。
$定义:当且仅当a与b同在一类时，aRb。据定义知这样的R是A的一个关系，$定义:当且仅当a与b同在一类时，aRb。据定义知这样的R是A的一个关系，
$又因为a \in A, a与a同在一类,所以R满足反身性；$又因为a∈A,a与a同在一类,所以R满足反身性；
$a,b \in A,若aRb,表明a与b同在一类，则b与a也同在一类，所以bRa,即R满足对称性;$a,b∈A,若aRb,表明a与b同在一类，则b与a也同在一类，所以bRa,即R满足对称性;
$a,b,c \in A,若aRb, bRc,表明a与b同在一类，b与c同在一类，则a与c同在一类,所以aRc，$a,b,c∈A,若aRb,bRc,表明a与b同在一类，b与c同在一类，则a与c同在一类,所以aRc，
$即R满足传递性。$即R满足传递性。
$据定义1.1.10，R是A的一个等价关系。$据定义1.1.10，R是A的一个等价关系。
在给出下一个定理之前，我们先给出由等价关系派生出来的三个概念:等价类，商集合和自然映射。
${\color{blue}定义1.1.12 \quad}设集合A中有等价关系R, a \in A,则A中与a有关系(也称与a等价)的所有元素的集合\lbrace b \in A | bRa \rbrace,称为a所在的{\color{blue}等价类},记为\bar a,a称为这个等价类的{\color{blue}代表元}。$定义1.1.12设集合A中有等价关系R,a∈A,则A中与a有关系(也称与a等价)的所有元素的集合{b∈A∣bRa},称为a所在的等价类,记为aˉ,a称为这个等价类的代表元。
$从以上定义及等价类的传递性易知，若 aRb, 则 \bar a = \bar b,即等价的两个元素所在的等价类是同一个，因此，同一个等价类可以有不同的$从以上定义及等价类的传递性易知，若aRb,则aˉ=bˉ,即等价的两个元素所在的等价类是同一个，因此，同一个等价类可以有不同的
$代表元。这使我们在讨论有关等价类的问题时，经常要注意说明，所讨论的内容$代表元。这使我们在讨论有关等价类的问题时，经常要注意说明，所讨论的内容
$虽然形式上与等价类的代表元有关，实质上却与之无关。$虽然形式上与等价类的代表元有关，实质上却与之无关。
${\color{blue}定义1.1.13 \quad}设集合A中有等价关系R，则以R为前提的所有等价类$定义1.1.13设集合A中有等价关系R，则以R为前提的所有等价类
$(重复的只取一个)的集合 \lbrace \bar a \rbrace,称为A对R的 {\color{blue}商集合},记为A / R。$(重复的只取一个)的集合{aˉ},称为A对R的商集合,记为A/R。
$我们注意到，等价类 \bar a 是A的子集合，却是 A / R 的元素。$我们注意到，等价类aˉ是A的子集合，却是A/R的元素。
$一个集合通过等价关系，在新的层次上产生出与原集合有联系的新的集合$一个集合通过等价关系，在新的层次上产生出与原集合有联系的新的集合
${\color{blue}--商集合}，这也反映出等价关系不同于一般二元关系的重要性。$−−商集合，这也反映出等价关系不同于一般二元关系的重要性。
${\color{blue}定义1.1.14 \quad}设集合A中有等价关系R,则映射 \pi : A \to A / R,$定义1.1.14设集合A中有等价关系R,则映射π:A→A/R,
$\qquad \pi (a) = \bar a, \forall a \in A$π(a)=aˉ,∀a∈A
$称为A到 A/R的{\color{blue}自然映射}。$称为A到A/R的自然映射。
$自然映射一定是满射，但却不一定是单射。$自然映射一定是满射，但却不一定是单射。
${\color{blue}定理1.1.2 \quad} {\color{green}集合A的一个等价关系决定A的一个分类。}$定理1.1.2集合A的一个等价关系决定A的一个分类。
${\color{blue}证 \quad} 记A中的等价关系为R，容易证明, R决定的商集合A/R，就是A的一个分类。$证记A中的等价关系为R，容易证明,R决定的商集合A/R，就是A的一个分类。
$事实上，商集合的全体等价类(重复的只取一个)的集合，每个等价类是A的一个子集，$事实上，商集合的全体等价类(重复的只取一个)的集合，每个等价类是A的一个子集，
$也是A的一个“类”，A中的每一个元素a属于一个类 \bar a,以下证明a仅属于 \bar a,便完成证明。$也是A的一个“类”，A中的每一个元素a属于一个类aˉ,以下证明a仅属于aˉ,便完成证明。
$若还有 a \in \bar b,则据定义1.1.12，aRb,即a与b等价,而等价的两个元素所在的等价类是$若还有a∈bˉ,则据定义1.1.12，aRb,即a与b等价,而等价的两个元素所在的等价类是
$同一个，所以 \bar b = \bar a.$同一个，所以bˉ=aˉ.