softmax回归

我们知道Logistic回归只能进行二分类，因为它的随机变量的取值只能是0或者1，那么如果我们面对多分类问题怎么办？比如要将一封新收到的邮件分为垃圾邮件，个人邮件，还是工作邮件；根据病人的病情预测病人属于哪种病。诸如此类问题都涉及到多分类，那么今天要讲的softmax回归能解决这类问题。

 

 在Logistic回归中，样本数据的值，而在softmax回归中，其中是类别种数，

比如在手写识别中，表示要识别的10个数字。设

 

          

 

那么

 

          

 

而且有

 

          

 

为了将多项式模型表述成指数分布族，先引入，它是一个维的向量，那么

 

   

 

应用于一般线性模型，必然是属于个类中的一种。用表示为真，同样当为假时，有

，那么进一步得到联合分布的概率密度函数为

 

      

 

对比一下，可以得到

 

         

 

由于

 

       

 

那么最终得到

 

       

 

可以得到期望值为

 

       

 

接下来得到对数似然函数函数为

 

        

 

其中是一个的矩阵，代表这个类的所有训练参数，每个类的参数是一个维的向量。所以在

softmax回归中将分类为类别的概率为

 

        

 

跟Logistic回归一样，softmax也可以用梯度下降法或者牛顿迭代法求解，对对数似然函数求偏导数，得到

 

 

然后我们可以通过梯度上升法来更新参数

 

   

 

注意这里是第个类的所有参数，它是一个向量。

 

在softmax回归中直接用上述对数似然函数是不能更新参数的，因为它存在冗余的参数，通常用牛顿方法中的Hessian

矩阵也不可逆，是一个非凸函数，那么可以通过添加一个权重衰减项来修改代价函数，使得代价函数是凸函数，并且

得到的Hessian矩阵可逆。