多元统计分析——泰勒展开式
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一、理解泰勒公式的由来及意义——一元函数的展开式
问题：一个简单的三角函数，现在要求当
时的函数值。如果不借助计算机，要怎么求这个值呢?
泰勒的思路是：用多项式函数去近似拟合三角函数。
在回归分析中，我们以多项式函数拟合数据集，多项式的“项”越多，对数据集的拟合程度越好，如下图。
于是这个问题就转换为求解一个多项式函数（“项”的个数越多拟合越好，可以无穷大），让这个多项式函数无限地和三角函数或者其他我们需要的函数等价。
推导过程如下：
我们定义，我们塑造一个多项式函数：
，其中
为误差项，是
和
的差值。
令，则
。
我们假设在
点左右邻域内，各阶导数都存在（必要条件），则：
....
进而得：
....
将系数代入
化简得：
，误差项
可去掉，得
，这就是泰勒公式，其中
代表
的
阶导数。
案例1：
①先求其的阶导数
....
已知：.....
②我们将阶导数
代入方程
，得
取，得：
案例2：
①我们知道
②
取，得：
二、二元函数的展开式
由上面我们可知，一元函数在点
处的泰勒展开式为：
推广到二元函数，二元函数在点
处的泰勒展开式为：
其中，为误差项。
不同的教材对泰勒展开式有不同的写法，但是其原理其实是一样的。
其中，，
三、多元函数的展开式
多元函数在点
处的泰勒展开式为：
注意：多元函数中的
表示的是第
个变量，并不是变量的
次方。
同样，展开式也可以这样表示：
其中，即等同于上式中的
，以此类推。
四、泰勒展开式的矩阵形式表达
对以上的泰勒展开式我们取前两行，用矩阵的形式表示出来：
其中，，
，
注意：通常读作nabla，称为哈密顿算子。
五、哈密顿算子
在数学的世界中，有一个被称为向量分析的领域，其中有一个经常用到的符号。
称为哈密顿算子，其定义如下所示。
则上式中的即为
时的各变量的偏导组成的向量。