多元回归与相关------（二）多元相关和偏相关
在 M=m+1 个变数中，m个变数的综合和一个变数的相关，叫做多元相关或负相关（multiple correlation）;
其余M-2个变数皆固定时，指定的两个变数间相关，叫做偏相关（partial correalation）。
从相关关系的性质看，多元相关和偏相关的M个变数都是随机变数，并无自变数和依变数之分。
多元相关和偏相关的统计数也常用于有自变数和依变数之分的资料，并作为回归显著性的一个指标。
一、多元相关
多元相关分析师计算多元相关系数并测验其显著性。
（1）多元相关系数
在m个变数和1个变数的多元相关中，多元相关系数记作 ,读作y和m个变数的多元相关系数。
m个自变数对y的回归平方和为,
占y的总平方和
的比率愈大，表明y和m个自变数的多元相关愈密切，可定义：
,在一定自由度下，
的值愈接近1，多元相关愈密切；
的值愈接近0，多元相关愈不密切 。
因为多元回归的平方和一定大于任一自变数对y的回归平方和，故多元相关系数一定大于任一自变数对y的简单相关系数的绝对值大。
（2）多元相关系数的假设测验
令总体的多元相关系数为 ，则对多元相关系数的假设测验
对
，F测验：
,
为
的缩写
多元相关系数的假设测验和多元回归方程的假设测验是等价的。
在 、
一定时，给定显著水平
下的F值一定，可计算显著水平
时的临界 R 值：
二、偏相关：计算偏相关系数并测验其显著性
（1）偏相关系数
偏回归系数是在其他m-1个自变数都保持一定时，指定的某一自变数对于对于依变数y的效用；
偏相关系数则表示在其它M-2个变数都保持一定时，指定的两个变数间相关的密切程度。
偏相关系数是以r带右下标表示。若有 ，
，
3个变数，则
表示
变数保持一定时，
，
变数的偏相关系数；
表示
变数保持一定时，
，
变数的偏相关系数；
表示
变数保持一定时，
，
变数的偏相关系数。
若有M个变数，则偏相关系数共有 个。
在多个变数错综复杂的关系中，偏相关系数可帮助排除假象相关，找到真实联系最为密切的变数。
以上R中的主对角线元素为各个变数的自身相关系数，都等于1；
该矩阵以主对角线为轴而对称，即 。逆阵
中的元素也是以主对角线为轴对称的，即
（2）偏相关系数的假设测验
偏相关系数 的测验也需要通过转换进行。令总体偏相关系数
，测验
对
则：
（3）偏相关与简单相关的关系
偏相关和偏回归的方法分析时，消除了自变数相关的混淆，能够表现出自变数和依变数的单独关系。
简单相关包含有其他因素作用成分在内的相关与回归，主要研究目的是正确选用适当的统计指标。