Multivariate Normal Distribution and Matrix Algebra

每次遇到向量表示多元的情况脑子就宕机了，这里决定做一个简单的梳理。

1. 一个样本
   从基本的一个样本开始。某一个样本可以表示为$\boldsymbol {x_i}$xi​,它默认是竖着写的列向量，在有$p$p个特征（维度）的情况下是一个$p*1$p∗1的向量。$\boldsymbol{x_i'}$xi′​自然表示的是它的转置。

2. $n$n个样本
   首先，记住表示$n$n个样本的向量是大写粗体$\boldsymbol X$X矩阵，它的维度是$n*p$n∗p。因此$n$n个样本是每个作为一个横向量$\boldsymbol{x_i'}$xi′​，每个占一行，挨个竖着列下来的。
   

3. 单个服从正态分布的样本$\boldsymbol{x_i}$xi​的密度函数写法
   
   文档地址：
   http://www.maths.manchester.ac.uk/~mkt/MT3732 (MVA)/Notes/MVA_Section3.pdf
   
   文档地址
   http://www.public.iastate.edu/~maitra/stat501/lectures/MultivariateNormalDistribution-I.pdf
   注意到，在$e$e的指数上，是维度$1*p$1∗p的行向量，乘上$p*p$p∗p维度的方差协方差矩阵的逆，然后再乘上维度$p*1$p∗1的列向量的。

4. 多个服从正态分布的iid样本的极大似然函数
   令$\boldsymbol{X^T}=(\boldsymbol{x_1},...,\boldsymbol{x_n})$XT=(x1​,...,xn​), 它包含了样本量为$n$n的独立同分布样本，且样本都服从$\boldsymbol{N_p(\mu,\Sigma)}$Np​(μ,Σ)。则关于它的极大似然函数应该表示为：
   
   文档地址：
   http://www.maths.manchester.ac.uk/~mkt/MT3732 (MVA)/Notes/MVA_Section3.pdf

Over.
以上！
今天也进步了一小步！！！