最小生成树
关于图的几个概念定义：
- 连通图：在无向图中，若任意两个顶点vivi与vjvj都有路径相通，则称该无向图为连通图。
- 强连通图：在有向图中，若任意两个顶点vivi与vjvj都有路径相通，则称该有向图为强连通图。
- 连通网：在连通图中，若图的边具有一定的意义，每一条边都对应着一个数，称为权；权代表着连接连个顶点的代价，称这种连通图叫做连通网。
- 生成树：一个连通图的生成树是指一个连通子图，它含有图中全部n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。一颗有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边，如果生成树中再添加一条边，则必定成环。
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最小生成树：在连通网的所有生成树中，所有边的代价和最小的生成树，称为最小生成树。
下面介绍两种求最小生成树算法
1.Kruskal算法
G=(V,E)，顶点数目共n个，令最小生成树的初始状态只有n个顶点无边T=(V,TE)，TE为空集，每个顶点自成一格连通分量。在E中选择代价最小的边，若该边依赋的两个顶点在T中不同连通分量上，则加入该边到T中，否则舍去，选择下一条代价最小的边。直到仅有一个连通分量为止。
2.Prim算法
此算法可以称为“加点法”，每次迭代选择代价最小的边对应的点，加入到最小生成树中。算法从某一个顶点s开始，逐渐长大覆盖整个连通网的所有顶点。
- 图G=(V,E)，T=(V,TE)是最小生成树，U是最小生成树所含的顶点集。
- 初始，任取一顶点u加入U，U={u}，TE=空集。
- 重复操作：找出U与V-U之间的一条最小边（u，v），将v加入U，U=U并{v}，边（u，v）加入TE，TE=TE并{（u，v）}，直到V=U为止。
- 最后得到的T=(V,TE)就是G的一颗最小生成树。