任意四面体的外接球的半径(克列尔(A.L.Crelle)公式)

【问题提出】克列尔(A.L.Crelle)公式

对任意四面体 $A B C D$ ，其体积 $V$ 和外接球半径 $R$ 满足

6 R V = \sqrt{p (p - a a_{1}) (p - b b_{1}) (p - c c_{1})} .

其中 $p = \frac{1}{2} (a a_{1} + b b_{1} + c c_{1})$ ， $a, a_{1}, b, b_{1}, c, c_{1}$ 分别为四面体的三组对棱的长.

允许我先跑个题且在正文里介绍下近代欧氏几何学中的布洛卡点. 克列尔(1780-1855)法国数学家和数学教育家，布洛卡点早在1816年就被克列尔首次发现，1875年被法国军官布洛卡(Brocard)重新发现此特殊点并用他的名字命名，这才引起莱莫恩，图克等一大批数学家兴趣，一时形成了一股研究“三角形几何”的热潮.

【布洛卡点】 2013年全国卷I第17题的背景是也

点 $P$ 是 $△ A B C$ 内部一点，若 $∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A = α$ ，则称 $α$ 为布洛卡角，点 $P$ 为布洛卡点.

这里说个特殊情况，当 $α = 30^{\circ}$ 时，则此 $△ A B C$ 为正三角形，这是个看似简单实难的几何题.

【简单引理】四面体的体积公式之一

$V = \frac{2}{3 a} \cdot S_{1} S_{2} \cdot \sin θ$ ，其中， $S_{1}, S_{2}$ 为以 $a$ 为公共棱的两个面的面积， $θ$ 为这两个面所成的二面角.

此式的证明极易，只需要将 $V = \frac{1}{3} S h$ 中的 $h$ 用这两个面的夹角表示即可.

【问题解决】辅助线爽心悦目，千锤百炼，叹为观止

证明：如图所示，过 $A$ 作四面体外接球的切面 $α$ ，过 $D$ 作平面 $A B C$ 平行平面 $β$ .

平面 $α$ ，平面 $β$ ，平面 $A B D$ 相交于点 $E$ ；

平面 $α$ ，平面 $β$ ，平面 $A C D$ 相交于点 $F$ .

任意四面体的外接球的半径(克列尔(A.L.Crelle)公式)

平面 $β \sslash$ 平面 $A B C$ ，平面 $A C D$ 与这两面均相交，由平面平行性质可知 $A C \sslash D F$ ，需要提醒的是， $A C$ 与 $D F$ 是否相等无法判断.

于是 $∠ A D F = ∠ D A C$ ，由于平面 $α$ 是四面体外接球的{\FZK \color{red}切面}，所以在平面 $A C D$ 中， $A F$ 是 $⊙ A C D$ 在点 $A$ 的切线，由弦切角定理，知 $∠ F A D = ∠ A C D$ ，所以

△ F A D \sim △ D C A \Rightarrow \frac{A F}{a} = \frac{c}{b} \Rightarrow A F = \frac{a c}{b} .

同理由 $A B \sslash D E$ ，有 $∠ A D E = ∠ D A B$ 在平面 $A B D$ 中 $A E$ 为 $⊙ A B D$ 的切线，有 $∠ E A D = ∠ A B D$ ，所以

△ E A D \sim △ D B A \Rightarrow \frac{A E}{b_{1}} = \frac{c}{a_{1}} \Rightarrow A E = \frac{b_{1} c}{a_{1}} .

下面求 $E F$ 的长.

同样的方法，如图，作平面 $γ \sslash$ 平面 $A C D$ ，这样三面相交得到点 $G$ ， $H$ .

同样可得

A G = \frac{a_{1} c_{1}}{b}, A H = \frac{a_{1} b_{1}}{c} .

平面 $α \cap$ 平面 $A B C = A G$ ，平面 $α \cap$ 平面 $β = E F$ ，平面 $A B C \sslash$ 平面 $β$ ，于是 $A G \sslash E F$ ，同理知 $G H \sslash A F$ ，而 $H, A, E$ 在一条线(平面 $α$ 与平面 $A B D$ 的交线)上，所以

△ E F A \sim △ A G H \Rightarrow \frac{E F}{A G} = \frac{A E}{A H} \Rightarrow E F = \frac{c^{2} c_{1}}{a_{1} b} .

将 $△ A E F$ 放缩 $\frac{a_{1} b}{c}$ 倍，就得到三边为 $a a_{1}$ ， $b b_{1}$ ， $c c_{1}$ 的三角形，由海伦公式，将此三角形的面积记为

S = \sqrt{p (p - a a_{1}) (p - b b_{1}) (p - c c_{1})} .

设点 $D$ 在四面体 $A B C D$ 外接球过 $A$ 的直径上的投影为 $D^{'}$ ，则

h = A D^{'} = \frac{A D^{2}}{2 R} = \frac{c^{2}}{2 R} .

这样一来，

V_{1} = V_{D - A E F} = \frac{1}{3} S {(\frac{c}{a_{1} b})}^{2} h = \frac{c^{4}}{a_{1}^{2} b^{2}} \cdot \frac{S}{6 R} .

另一方面，四面体 $A D E F$ 与四面体 $A B C D$ 的体积比为

\begin{aligned} \frac{V_{1}}{V} & = \frac{S_{△ A D F} \cdot S_{△ A D E}}{S_{△ A C D} \cdot S_{△ A B D}} \\ = \frac{S_{△ A D F}}{S_{△ A C D}} \cdot \frac{S_{△ A D E}}{S_{△ A B D}} \\ = {(\frac{A F}{a})}^{2} \cdot {(\frac{A E}{b_{1}})}^{2} \\ = \frac{c^{2}}{b^{2}} \cdot \frac{c^{2}}{a_{1}^{2}} = \frac{c^{4}}{a_{1}^{2} b^{2}} \end{aligned}

∴ V_{1} = \frac{c^{4}}{a_{1}^{2} b^{2}} \cdot V .

从而

6 R V = \sqrt{p (p - a a_{1}) (p - b b_{1}) (p - c c_{1})}

. \qed

PS:高考中的热点与难点
PSS:1988年赵光明、武建沛在《数学教学》发表了“任意四面体外接球半径的计算公式”，从角出发；本文从六条边出发，即克列尔(A.L.Crelle)公式，参考了唐立华著的《向量与立体几何》；沈文选、张垚、冷岗松著的《奥林匹克数学中的几何问题》
PSSS:\sslash 表示平行

任意四面体的外接球的半径(克列尔(A.L.Crelle)公式)

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