萌新的matlab入门2

           专题二 matlab矩阵处理

2.1 matlab矩阵处理
1.通用的特殊矩阵
zeros函数：产生全0矩阵，即0矩阵。
ones函数：产生全1矩阵，即幺矩阵。
eye函数：产生对角线为1的矩阵。当矩阵是方阵时，得到一个单位矩阵。
rand函数：产生（0，1）区间均匀分布的随机矩阵。
randn函数：产生均值为1，方差为1的标准正态分布随机矩阵。
zeros函数的调用格式
zeros（m）：产生mn零矩阵
zeros（m，n）：产生mn零矩阵
zeros（size（A））：产生与矩阵A同样大小的零矩阵。
rand函数：产生（0，1）开区间均匀分布的随机数x
fix(a+(b-a+1)*x):产生【a，b】区间上均匀分布的随机整数。
randn函数：产生均值为0、方差为1的标准正态分布随机数x。
1.对角阵
对角阵：只有对角线上有非零元素的矩阵。
数量矩阵：对角线上的元素相等的对角矩阵。
单位矩阵：对角线上的元素都为1的对角矩阵。
（1）提取矩阵的对角线元素
diag（A）：提取矩阵A主对角线元素，产生一个列向量。
diag（A，k）：提取矩阵A第k条对角线的元素，产生一个列向量。
（2）构造对角阵
diag（V）：以向量V为主对角线元素，产生对角矩阵。
diag（V，k）：以向量V为第k条对角线元素，产生对角矩阵。
要将A的割裂元素分别乘以对角阵的对角线元素，可以用一个对角阵右乘矩阵A
2.三角阵
上三角阵：矩阵的对角线以下的元素全为0的矩阵。
下三角阵：对角线以上的元素全为0的矩阵。

            （1）上三角矩阵
                      triu（A）：提取矩阵A的主对角线及以上的元素。
                      triu（A，k）：提取矩阵A的第k条对角线及以上的元素。
            （2）下三角矩阵
                      在matlab中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数时tril，其用法与triu函数完全相同

3.矩阵的转置
转置运算符的基础上还要去每个数的复共轭是小数点后面接单引号（.’)。
共轭转置，其运算符是单引号（‘），它在转置的基础上还要取每个数的复共轭。
4.矩阵的旋转
rot90（A，k）：将矩阵A逆时针方向旋转90°的k倍，当k为1时可省略。
5 矩阵的反转
对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，…,以此类推。
fliplr（A）：对矩阵A实施左右翻转
flipud（A）：对矩阵A实施上下翻转
6.矩阵的求逆
对于一个方阵A，如果存在与一个与其同阶的方阵B，使得AB=BA=I（I为单位矩阵），则称B为A的逆矩阵，当然，A也是B的逆矩阵。
inv（A）：求方阵A的逆矩阵。

1.方阵的行列式
det（A）：求方阵A所对应的行列式的值。
2 .矩阵的秩
矩阵线性无关的行数或列数称为矩阵的秩。
rank（A）：求矩阵A的秩。
3.矩阵的迹
矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。
trace（A):求矩阵A的迹。
4.向量和矩阵的范数
矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。

在matlab中，求向量范数的函数为：
norm（V）或norm（V，2）：计算向量V的2—范数。。
norm（V，1）：计算向量V的1—范数。
norm（V，inf）：计算向量V的∞—范数。
（2）矩阵的范数

matlab提供了求三种矩阵范数的函数，其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同。

5.矩阵的条件数
矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆矩阵的范数的乘机。
条件数越接近于1，矩阵的性能越好，反之，矩阵的性能越差。
在MATLAB中，计算矩阵的三种条件数的函数是：
cond（A，1）：计算A的1----范数下的条件数。
cond（A）或cond（A，2）：计算A 的2—范数数下的条件数。
cond（A，inf）：计算A的∞—范数下的条件数。

2.4 矩阵的特征值和特征向量
矩阵特征值的数学定义
求矩阵的特征值与特征向量
特征值的几何含义

1.矩阵特征值的数学定义
设A是n阶方阵，如果存在常数λ和n维非零列向量x，使得等式Ax=λx成立，则称λ为A的特征值，x是对应特征值λ的特征向量。
2.求矩阵的特征值与特征向量
在MATLAB中，计算矩阵的特征值和特征向量的函数是eig，常用的调用格式有两种：
E=eig（A）：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
[X,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并产生矩阵X，X各列是相应的特征向量。

2.5 稀疏矩阵
矩阵的存储方式
稀疏存储方式的产生
稀疏矩阵的应用实例

1.矩阵的存储方式
完全存储方式：将矩阵的全部元素按列存储。
稀疏存储方式：只存储矩阵的非零元素的值及其位置，即行号和列号。
注意，采用稀疏存储方式时，矩阵元素的存储顺序并没有改变，也是按列的顺序进行存储。
2稀疏存储方式的产生
（1）完全存储方式与稀疏存储方式之间的转化
A=space（S）：将矩阵S转化为稀疏存储方式的矩阵A。
S=full（A）：将矩阵A转化为完全存储方式的矩阵S。
（2）直接建立稀疏存储矩阵
sparse（m，n）：产生一个mn的所有元素都是0的稀疏矩阵。
sparse（u，v，S）：其中u，v，S是三个等长的向量。S是要建立的稀疏存储矩阵的非零元素,u(i)、v（i）分别是S（i）的行和列下标。
使用spconvert函数直接建立稀疏存储矩阵，其调用格式为：
B=spconvert（A）
其中，A为一个m3或m*4的矩阵，其每行表示一个非零元素，m是非零元素的个数。
A（i，1）表示第i个非零元素所在的行。
A（i，2）表示第i个非零元素所在的列。
A（i，3）表示第i个非零元素值的实部。
A（i，4）表示第i个非零元素值的虚部。
若矩阵的全部元素都是实数，则无需第四列。
（3）带状稀疏矩阵的稀疏存储
稀疏矩阵有两种基本类型：无规则结构的稀疏矩阵与有规则结构的稀疏矩阵
带状稀疏矩阵就是一种十分典型的具有规则结构的稀疏矩阵，它是指所有非零元素集中在对角线上的矩阵。
[B,d]=spdiags(A)：从带状稀疏矩阵A中提取全部非零对角线元素赋给矩阵B及其这些非零对角线的位置向量d。
A=spdiags(B,d,m,n):产生带状稀疏矩阵的稀疏存储矩阵A，其中m、n为原带状稀疏矩阵的行数与列数，矩阵B的第i列即为原带状稀疏矩阵的第i条非零对角线，向量d为原带状稀疏矩阵所有非零对角线的位置。

                                                                            总结

用spdiags函数产生带状稀疏矩阵的稀疏存储A：
A=spdiags（B,d，m，n）
其中，m、n为原带状矩阵的行数与列数。B为r*p矩阵，这里r=min（m，n），p为原带状矩阵所有非零对角线的条数，矩阵B的第i列即为原带状矩阵的第i条非零对角线，取值方法是：若非零对角线上元素个数等于r，则取全部元素；若非零对角线上元素个数效于r，则应该用零补足到r个元素。补零的原则是：若m<n（行数<列数），则d<0时（主对角线以下）在前面补0，d>0时（主对角线以上）在后面补0；当m≥n（行数≥列数），则d<0时在后面补0；d>0时在前面补0.

（4）单位矩阵的稀疏存储
speye（m，n）返回一个m*n的稀疏单位矩阵。